Podział odcinka

Każdy odcinek można podzielić na dowolną liczbę równych części z użyciem cyrkla i liniału.

Sposób postępowania ilustruje poniższa animacja.

Animacja

Podział odcinka

Podział odcinka — ujęcie analityczne

Dany jest odcinek \(\overline{AB}\) i dowolny punkt \(P\), który dzieli ten odcinek w pewnym stosunku. Używając zapisu wektorowego, zapiszemy to następująco: \(\vec{AP}=t\vec{AB}, \ 0\leq t<1\). Jeżeli współrzędne punktów oznaczymy następująco: \(A=(x_A,y_B), B=(x_B,y_B), P=(x,y)\), to otrzymujemy:

\(x-x_A=t(x_B-x_A)\)

\(y-y_A=t(y_B-y_A)\)

\(0\leq t<1\)

Jest to tak zwane równanie parametryczne odcinka.

Wzór na środek odcinka

Aby wyznaczyć współrzędne środka \(S=(x,y)\) odcinka, skorzystamy z powyższego wzoru:

\(\vec{AS}=\frac{1}{2}\vec{AB}\)

Mamy tutaj \(t=\frac{1}{2}\). Równanie odcinka przyjmuje postać:

\(x-x_A=\frac{1}{2}(x_B-x_A), y-y_A=\frac{1}{2}(y_B-y_A)\)

\(x=\frac{1}{2}x_B-\frac{1}{2}x_A+x_A, y=\frac{1}{2}y_B-\frac{1}{2}y_A+y_A\)

\(x=\frac{1}{2}x_B+\frac{1}{2}x_A, y=\frac{1}{2}y_B+\frac{1}{2}y_A\)

W ten sposób otrzymujemy współrzędne środka odcinka:

\(x=\frac{x_A+x_B}{2}\)

\( y=\frac{y_A+y_B}{2}\)

Przykłady

Dane są punkty \(A=(1,3)\) i \(B=(3,7)\). Wyznaczyć współrzędne środka odcinka.

Korzystamy wprost z powyższego wzoru:

\(x=\frac{1+3}{2}=2, y=\frac{3+7}{2}=5\)

Złoty podział odcinka

Złoty podział odcinka jest to podział odcinka na takie dwie części, że mniejsza do większej ma się tak, jak większa część do długości całego odcinka. Większa część odcinka jest nazywana złotą częścią.

Wprowadźmy oznaczenia jak na poniższym rysunku:

złoty podział odcinka

Zgodnie ze złotym podziałem następujące stosunku długości są równe:

\(a:b=(a+b):a\)

Mamy więc:

\(\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}\)

\(\frac{a}{b}=1+\frac{b}{a}\)

Oznaczmy stosunek \(a:b\) przez grecką literę \(\varphi\). Otrzymujemy równanie:

\(\varphi=1+\frac{1}{\varphi}\)

\(\frac{\varphi^2-\varphi-1}{\varphi}=0\)

\(\varphi^2-\varphi-1=0\)

\(\Delta=5\)

\(\varphi_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0\)

\(\varphi_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618033989\)

Pierwszy pierwiastek jest ujemny, nie może więc stanowić złotego podziału (stosunek odległości jest zawsze liczbą dodatnią). Drugi pierwiastek jest tak zwaną złotą liczbą.

Przykład

Bok dziesięciokąta foremnego jest złotą częścią ze złotego podziału promienia okręgu opisanego na tym dziesięciokącie.

Ciekawostki

Złoty podział wykorzystuje się czasem w kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych itp. Znany był już w starożytności. Stosowano go np. w planach budowli na Akropolu.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Punkty \(A=(\frac{\sqrt{5}}{5},2), \ B=(\sqrt{5},1)\) wyznaczają odcinek \(\overline{AB}\). Znaleźć jego środek.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć złoty podział odcinka o długości 10.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Odcinek

Twierdzenie Talesa