Podzielność liczb

Liczba \(m\) jest podzielna przez \(n\), jeżeli iloraz \(\frac{m}{n}\) jest liczbą całkowitą.

Liczbę \(n\) nazywamy w takim przypadku dzielnikiem liczby \(m\).

Kalkulator

Poniżej zamieszczamy prosty kalkulator — program bada podzielność liczb bez reszty.

Kalkulator
Podaj liczbę:

Podana liczba jest podzielna przez:

Cechy podzielności liczb

Tablica
Poniższa tabela zawiera zasady podzielności liczb naturalnych wraz z przykładami.

Liczba jest podzielna przez:	Cecha podzielności	Przykład
1	Wszystkie liczby całkowite dzielą się przez 1.	-
2	Liczba całkowita dzieli się przez 2, jeżeli ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 lub 8.	Liczba 1346 dzieli się przez 2, ponieważ ostatnią cyfrą tej liczby jest 6.
3	Liczba całkowita dzieli się przez 3, jeżeli suma cyfr dzieli się przez 3.	Liczba 239637 dzieli się przez 3, ponieważ 2+3+9+6+3+7 = 30, a liczba 30 dzieli się bez reszty przez 3.
4	Liczba całkowita dzieli się przez 4, jeżeli liczba złożona z ostatnich dwóch cyfr dzieli się przez 4 lub dwie ostatnie cyfry tej liczby są zerami.	Liczba 2344212 dzieli się przez 4, ponieważ 12 dzieli się przez 4 i liczba 235400 dzieli się przez 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry są zerami.
5	Liczba całkowita dzieli się przez 5, jeżeli ostatnią cyfrą jest 0 lub 5.	Liczba 13460 dzieli się przez 5, ponieważ ostatnią cyfrą tej liczby jest 0.
6	Liczba całkowita dzieli się przez 6, jeżeli dzieli się przez 2 i 3.	Liczba 5412 dzieli się przez 6, ponieważ 5412 dzieli się przez 2 i 3.
7	Wiele metod na tyle skomplikowanych, że w praktyce się ich nie stosuje. Przykład metody podzielności przez 7: jeśli suma cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi liczby 3 (zaczynając od \(3^0\)) jest podzielna przez 7.	\(105: 5\cdot 3^0+0\cdot 3^1+1\cdot 3^2= 5+9=14\) 105 jest podzielne przez 7.
8	Liczba jest podzielna przez 8, jeśli liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna przez 8. (Można też wziąć liczbę utworzoną przez trzy ostatnie cyfry, podzielić ją przez 2 i sprawdzić podzielność przez 4).	Liczba 432016 dzieli się przez 8, ponieważ liczba złożona z cyfr 0, 1, 6 - czyli 16 dzieli się przez 8.
9	Liczba całkowita dzieli się przez 9, jeżeli suma cyfr dzieli się przez 9.	Liczba 100143 dzieli się przez 3, ponieważ 1+0+0+1+4+3 = 9, a liczba 9 dzieli się bez reszty przez 9.
10	Liczba całkowita dzieli się przez 10, jeżeli ostatnia z cyfr tej liczby jest zerem.	Liczba 34340 dzieli się przez 10, ponieważ ostatnią cyfrą tej liczby jest 0.
11	Liczba całkowita dzieli się przez 11, jeżeli różnica pomiędzy sumą cyfr stojących na miejscach nieparzystych (licząc od prawej strony) i sumą cyfr stojących na miejscach parzystych jest liczbą podzielną przez 11.	Liczba 61974 dzieli się przez 11, bo (4 + 9 + 6) - (7 + 1) = 19 - 8 = 11, a 11 jest podzielna przez 11.
12	Liczba całkowita dzieli się przez 12, jeśli jest podzielna przez 3 i 4.	Liczba 36 dzieli się przez 12, bo jest podzielna przez 3 i 4.

Liczby podzielne przez 2 nazywamy liczbami parzystymi, natomiast liczby niepodzielne przez 2 nazywamy liczbami nieparzystymi.

Jeżeli liczba \(n\) dzieli się bez reszty przez \(m\), to liczbę \(n\) nazywamy wielokrotnością liczby \(m\).

Przykład

Wielokrotnościami liczby 12 są: 12, 24, 36, 48, 60, ..., ponieważ liczby z tego ciągu są podzielne przez 12.

Zadanie

Utwórz zbiór P wszystkich podzielników liczby 342 z zakresu od 1 do 9.

Rozwiązanie

Ponieważ każda liczba dzieli się przez 1, więc pierwszym elementem zbioru będzie liczba 1.
Ostatnią cyfrą liczby 342 jest 2, a więc 342 dzieli się przez 2.
Suma cyfr 3 + 4 + 2 = 9, więc liczba ta dzieli się przez 3 i 9.
Liczba 42 nie dzieli się przez 4, a więc 4 nie jest dzielnikiem liczby 342.
Liczba 342 nie dzieli się przez 5, ponieważ ostatnią cyfrą nie jest 0 ani 5.
Ponieważ liczba 342 dzieli się przez 2 i 3, dzieli się także przez 6.
Aby sprawdzić podzielność przez 7, należy wykonać dzielenie pisemne. Przekonujemy się w ten sposób, że 7 nie jest podzielnikiem liczby 342.
Aby sprawdzić podzielność przez 8, można podzielić 342 przez 2 i otrzymamy wówczas liczbę 171 i sprawdzić podzielność 171 przez 4. Ponieważ 71 nie dzieli się przez 4, liczba 242 nie dzieli się przez 8.

Odpowiedź: P = {1, 2, 3, 6, 9}.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.

ĆWICZENIA

Podzielność liczb

Zobacz także inne ćwiczenia
Podzielność liczb

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1 — maturalne.

Udowodnij, że każda liczba całkowita \(k\), która przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby \(3k^2\) przez \(7\) jest równa \(5\).

Pokaż rozwiązanie zadania.