Pole rombu

Jak obliczyć pole rombu? Zarówno wzory na pole, jak i obwód rombu wynikają bezpośrednio ze wzorów na pole i obwód równoległoboku. W tym przypadku długości wszystkich boków są takie same, natomiast kąt przecięcia się przekątnych rombu ma miarę 90°.

Podstawowy wzór na pole powierzchni rombu jest następujący:

Pole rombu wyraża się wzorem:

P = a h

Wielkość $a$ jest długością boku rombu, a $h$ jego wysokością (patrz rysunek).

pole rombu

Przykłady

Obliczyć pole rombu przedstawionego na rysunku.

Rozwiązanie: Dana jest długość boku $a = 3, 7$ oraz wysokość $h = 3, 5$ . Stosujemy więc bezpośrednio wzór na pole rombu:

$P = 3, 5 \cdot 3, 7 = 12, 95$

Inne wzory na pole rombu

Jeżeli są dane przekątne rombu. Pole powierzchni tej figury geometrycznej możemy obliczyć z następującego wzoru:

Pole rombu z przekątnych $d_{1}, d_{2}$ wyraża się wzorem:

P = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

pole rombu - zadanie

Wzór na pole rombu jest następujący:

P = a^{2} \cdot \sin α

Wielkość $a$ jest długością boku, a $α$ jest kątem między dwoma bokami rombu (patrz na rysunek).

romb

Pole rombu wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory zaczepione we wspólnym początku jest równe modułowi wyznacznika $W$ tych wektorów.

$W = | \begin{matrix} a_{x} & a_{y} \\ b_{x} & b_{y} \end{matrix} | = a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}$

$P = | W |$

pole rombu - wektory

Obwód rombu

Wzór na obwód rombu o boku długości $a$ jest następujący:

L = 4 a

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Przekątna kwadratu o boku 1 oraz połowa drugiej przekątnej kwadratu stanowią przekątne rombu. Oblicz jego pole i obwód.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz pole rombu $A B C D$ , jeżeli wiadomo, że $A = (2, 0), B = (3, 2), C = (2, 4), D = (1, 2)$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Dany jest romb o boku $a = \sqrt{2}$ . Kąt wewnętrzny ma miarę 60°. Obliczyć pole powierzchni tego rombu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Wysokość rombu o polu 3 ma wartość $\frac{3}{2}$ . Oblicz obwód tego rombu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę $α$ . Wtedy:

A. $14 ° < α < 15 °$

B. $29 ° < α < 30 °$

C. $60 ° < α < 61 °$

D. $75 ° < α < 76 °$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Dany jest kwadrat $A B C D$ . Przekątne $A C$ i $B D$ przecinają się w punkcie $E$ . Punkty $K$ i $M$ są środkami odcinków – odpowiednio – $A E$ i $E C$ . Punkty $L$ i $N$ leżą na przekątnej $B D$ tak, że $| B L | = \frac{1}{3} | B E |$ i $| D N | = \frac{1}{3} | D E |$ (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta $K L M N$ do pola kwadratu $A B C D$ jest równy 1:3.