Pole równoległoboku

Jak się liczy pole równoległoboku? Jaki jest wzór na pole powierzchni równoległoboku? Możliwości jest kilka. Oto podstawowy wzór na pole równoległoboku.

Pole równoległoboku wyraża się wzorem:

\(P=ah_1=bh_2\)

Wielkości \(a, b\) są długościami boków trapezu, a \(h_1, h_2\) są wysokościami opuszczonymi na odpowiednie boki (patrz rysunek).

pole równoległoboku

Przykład

Obliczyć pole równoległoboku przedstawionego na rysunku.

pole równoległoboku - zadanie

Rozwiązanie: Dane są podstawy \(a=6\) oraz \(b=3\) oraz jedna z wysokości \(h=5,5\), która jest opuszczona na bok o długości \(3\). Stosujemy więc bezpośrednio wzór na pole równoległoboku:

\(P=b\cdot h_2=3\cdot 5,5=16,5\)

Inne wzory na pole równoległoboku

Wzór na pole równoległoboku z przekątnymi:

Pole równoległoboku wyraża się wzorem:

\(P=\frac{1}{2}d_1d_2\cdot \sin{\gamma}\)

Wielkości \(d_1, d_2\) są długościami przekątnych równoległoboku, a \(\gamma\) jest kątem między tymi przekątnymi (patrz na rysunek).

Pole równoległoboku wyraża się wzorem:

\(P=ab\cdot \sin{\alpha}\)

Wielkości \(a, b\) są długościami boków równoległoboku, a \(\alpha\) jest kątem między tymi bokami (patrz na rysunek).

równoległobok

Pole równoległoboku wyznaczonego przez dwa niezerowe wektory, zaczepione we wspólnym początku, jest równe modułowi wyznacznika \(W\) tych wektorów.

\(W=\begin{vmatrix} a_x&a_y\\b_x&b_y \end{vmatrix}=a_xb_y-a_yb_x\)

\(P=|W|\)

pole równoległoboku - wektory

Obwód równoległoboku

Obwód równoległoboku wyraża się wzorem:

\(L=2a+2b\)

Wielkości \(a, b\) są długościami różnych boków równoległoboku.

Powyższy wzór na obwód równoległoboku możemy także zapisać w postaci:

\(L=2(a+b)\)

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Jedna z wysokości w równoległoboku o polu 10 ma długość 2, druga z wysokości ma długość 4. Oblicz obwód tego równoległoboku.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Kąt między dwoma bokami równoległoboku o długościach 5 cm i 6 cm ma miarę równą 30°. Oblicz pole tego równoległoboku.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć pole równoległoboku \(ABCD\), jeżeli wiadomo, że \(A=(1,1), B=(5,1), C=(7,3), D=(3,3)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Długość krótszego boku równoległoboku oraz jednej z jego przekątnych jest równa. Oblicz pole powierzchni tego równoległoboku, jeżeli wiadomo, że drugi z boków jest razy dłuższy od pierwszego.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Pole prostokąta ABCD jest równe 90. Na bokach \(AB\) i \(CD\) wybrano — odpowiednio — punkty \(P\) i \(R\), takie, że \(\frac{|AP|}{|PB|}=\frac{|CR|}{|RD|}=\frac{3}{2}\) (zobacz rysunek).

Rysunek