Potęga o wykładniku niewymiernym

Na przykładzie zobaczmy, w jaki sposób wyznaczamy potęgę \(2^{\pi}\).
Liczba \(\pi=3.1415926535...\)
Tworzymy ciąg z niedomiarem: \((3,1, 3,14, 3,141, 3,1415, ...)\) i ciąg z nadmiarem: \((3,2, 3,15, 3,142, 3,1416, ...)\) oraz odpowiadające im ciągi potęg:

\((2^{3,1},2^{3,14},2^{3,141},2^{3,1415},...)\)

\((2^{3,2},2^{3,15},2^{3,142},2^{3,1416},...)\)

Każdy z tych wyrazów ciągu jesteśmy w stanie policzyć, korzystając z wiedzy na temat potęgi o wykładniku wymiernym. Dla przykładu policzymy wartość pierwszego wyrazu pierwszego ciągu.

\(2^{3,1}=2^{3\frac{1}{10}}=2^{\frac{31}{10}}=\sqrt[10]{2^{31}}=8\sqrt[10]{2}\)

Jest to już pewne przybliżenie szukanej potęgi (zauważ, że także niewymierne). W zależności od wymaganej dokładności wyniku bierzemy pod uwagę kolejny wyraz jednego z powyższych ciągów.

Możemy napisać, że \(2^{\pi}\approx{8}\sqrt[10]{2}\).

• \(2^{\sqrt{3}}\cdot{2^{-\sqrt{3}}}=2^{\sqrt{3}-\sqrt{3}}=2^0=1\)
• \(2^{\pi}\cdot{7^{\pi}}=14^{\pi}\)