Potęga o wykładniku wymiernym
Definicja
Dla nieujemnej liczby \(a\) oraz liczby naturalnej \(n\) określamy:
Przykłady
- \(3^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{3}\)\(
- \(4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2\)
- \(16^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{16}=2\)
Definicja
Dla nieujemnej liczby a oraz liczb naturalnych \(m\) i \(n\) określamy:
Przykłady
\(3^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{3^2}=\sqrt[3]{9}\)
\(4^{\frac{3}{6}}=\sqrt[6]{64}=2\)
\(5^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{5^3}=\sqrt[5]{125}\)
Definicja
Dla dodatniej liczby \(a\) oraz liczb naturalnych \(m\) i \(n\) określamy:
Przykłady
\(3^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\)
\(4^{-\frac{3}{6}}=\frac{1}{\sqrt[6]{64}}=\frac{1}{2}\)
\(5^{-\frac{3}{5}}=\frac{1}{\sqrt[5]{125}}\)
Działania na potęgach o wykładniku wymiernym
Dla potęg o wykładniku wymiernym stosujemy te same działania jak w przypadku działań na potęgach o wykładniku naturalnym.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Uprościć wyrażenie:
\(\Large \frac{6^{\frac{4}{3}}\cdot (\frac{3}{8})^{0,25}\cdot 2^{-0,(3)}\cdot (\frac{3}{2})^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{20}}\cdot 3^{\frac{11}{60}}}\)
Zadanie nr 2.
Uprościć wyrażenie:
\(\Large \frac{(x^{\frac{1}{4}}+1)(x^{-\frac{1}{4}}-1)}{3x^{\frac{1}{4}}}-\frac{3}{2x^{\frac{3}{4}}}\)
Zadanie nr 3.
Uprościć wyrażenie:
\(W=[(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}-1][(a^3-x^2)^{\frac{1}{2}}+1]-a^3+\\+x^2+(a^3-x^2)^{-\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}(a^2-\frac{x^2}{a})^{-\frac{1}{2}}+1\)
Zadanie nr 4.
Oblicz:
\(3^2\cdot 9^8\cdot (\frac{1}{3})^{-3}\cdot 27^{-5}\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 9^{\frac{1}{3}}\)
Zadanie nr 5.
Oblicz wartość wyrażenia:
\([(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}]^4+5\cdot 5^{-2}-(\frac{1}{5^3})^{-1}\)
Zadanie nr 6.
Oblicz wartość wyrażenia, korzystając z własności potęg:
\((5^{-\frac{1}{2}})^{5^{\frac{1}{3}}\cdot 25^{-\frac{2}{3}}}\)
Zadanie nr 7.
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach, oblicz:
\(\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}\)
Zadanie nr 8.
Korzystając z własności działań na pierwiastkach lub potęgach oblicz: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{4}:\sqrt[5]{16}\).
Zadanie nr 9.
Oblicz wartość wyrażenia: \(\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{48}}}}\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Funkcja f określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy \(f(-\sqrt[3]{3})\) jest równa:
A. \(-\frac{\sqrt[3]{9}}{2}\)
B. \(-\frac{3}{5}\)
C. \(\frac{3}{5}\)
D. \(\frac{3}{5}\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=4^{-x}+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Liczba \(f(\frac{1}{2})\) jest równa.
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{3}{2}\)
C. \(3\)
D. \(17\)
Zadanie nr 12.
Sprawdzić, czy liczby \(1, \sqrt{2}\) są pierwiastkami wielomianu
\(W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\).
Inne zagadnienia z tej lekcji
Potęga o wykładniku niewymiernym
Działania na potęgach
Potęga o wykładniku wymiernym i niewymiernym
Potęgowanie
Działania na pierwiastkach© medianauka.pl, 2009-09-28, A-348
Data aktualizacji artykułu: 2023-03-13