Praca w polu elektrostatycznym

Jeżeli dowolny ładunek umieścimy w polu elektrostatycznym, to zacznie na niego działać siła oddziaływania elektrycznego o wartości \(F\), która wykona na ładunku \(q_0\) pewną pracę \(W\), przemieszczając go na pewnej drodze. W Polu jednorodnym praca sił pola będzie równa:

\(W=\vec{F}\circ \vec{s}\)

Korzystając z definicji iloczynu skalarnego otrzymujemy: \(W=F\cdot s\cdot cos\alpha\)

gdzie:

\(F\) - wartość siły pola elektrostatycznego,
\(s\) - droga, jaką przebył ładunek \(q_0\) pod wpływem działania tej siły,
\(\alpha\) - kąt między kierunkiem działania siły i przesunięcia.

Z definicji natężenia pola elektrycznego wynika, że:

\(\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_0}\),

więc

\(W=q_0Es\cdot \cos{\alpha}\)

Jeżeli ładunek \(q_0\) porusza się wzdłuż linii pola (na przykład w polu centralnym), to kąt między wektorem natężenia pola a wektorem przemieszczenia jest równy \(\alpha=0°\), a \(\cos{0°}=1\). Mamy więc:

\(W = q_0E\cdot s\).

W centralnym polu elektrostatycznym, wytworzonym przez ładunek \(Q\) wartość natężenia pola jest równa:

\(E-k\frac{|Q|}{r^2}\),

gdzie \(r\) jest odległością od ładunku źródła pola, a \(k\) współczynnikiem proporcjonalności ((\k=\frac{1}{4 \pi \varepsilon}\)). Wartość wektora \(\vec{E}\) nie może być ujemna, stąd wartość bezwzględna we wzorze, choć sam wektor może być ujemny.

Dalej rozpatrujemy wyłącznie pole centralne.

Mając wszystkie potrzebne już wzory, jesteśmy w stanie obliczyć pracę sił zewnętrznych lub sił pola, przemieszczających ze stałą szybkością ładunek \(q_0\) z punktu \(A\) do punktu \(B\) w polu centralnym.

Praca w polu elektrostatycznym

Droga s we wzorze \(W=q_0E\cdot s\) będzie równa wartości wektora przesunięcia \(\Delta \vec{r}=\vec{r_B}-\vec{r_A}\). Zatem:

\(W_{pola (A\to B)} = -W_{zewn (A\to B)}=kQq_0(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B})\)

Widać, że praca zależy od punktu początkowego i końcowego, a nie zależy od toru, po jakim porusza się ładunek \(q_0\). Mówimy, że pole elektrostatyczne jest polem zachowawczym.

Energia potencjalna pola elektrostatycznego

Analogicznie do energii potencjalnej w polu grawitacyjnym możemy wprowadzić pojęcie energii potencjalnej w polu elektrostatycznym. Energię potencjalną można zdefiniować z wykorzystaniem pojęcia siły zachowawczej. Energia potencjalna ciała w punkcie \(A\) względem punktu \(B\) jest to praca, jaką wykonuje siła zachowawcza przy przesunięciu tego ciała z punktu \(A\) do \(B\). Przyjmuje się, że punkt \(A\) jest w nieskończoności, wówczas \(\frac{1}{r_A}\) dąży do zera przy \(r_A\) dążącym do nieskończoności.

Zatem każdy ładunek punktowy \(q_0\) umieszczony w polu elektrostatycznym posiada energię potencjalną eletrostatycznąrówną pracy, jaką należy wykonać, aby przenieść go z nieskończoności do danego punktu pola, bez zmiany energii kinetycznej tego ładunku.

Korzystając ze wzoru na pracę sił zewnętrznych w polu elektrostatycznym otrzymujemy:

\(E_p = -W_{zewn (A\to B)}=kQq_0(0-\frac{1}{r_B})\)

i w efekcie pomijając indeks \(B\):

\(E_p = \frac{kQq_0}{r}\)

Zauważmy, że jeżeli ładunki takich samych znaków, energia potencjalna jest dodatnia, jeżeli zaś ładunki są różnoimienne, energia potencjalna ma ujemną wartość.

Potencjał elektryczny