Prawdopodobieństwo warunkowe

Dany jest zbiór zdarzeń elementarnych \(\Omega\), zdarzenia losowe \(A, B\), będące podzbiorami zbioru \(\Omega\) i \(P(B)\>0\).

Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia \(A\) pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\) jest to stosunek prawdopodobieństwa iloczynu zdarzeń \(A\) i \(B\) do prawdopodobieństwa zdarzenia \(B\).

Definicję tę można wyrazić wzorem:

\(P(A/ B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)

Powyższy wzór na prawdopodobieństwo warunkowe zastosujemy w przykładzie:

Przykład

Spośród 30 uczniów w klasie matematykę lubi 20 uczniów, fizykę 10 uczniów. Trzech uczniów lubi zarówno matematykę, jak i fizykę. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowany uczeń lubi fizykę pod warunkiem, że lubi jednocześnie matematykę?

Losujemy jednego spośród 30 uczniów. Zbiór zdarzeń elementarnych ma więc 30 elementów.

Oznaczenia:

\(A\) — wylosowany uczeń lubi fizykę.
\(B\) — wylosowany uczeń lubi matematykę.

Mamy:

\(P(A)=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\)

\(P(B)=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}\)

Iloczyn zdarzeń \(A\) i \(B\) oznacza takie zdarzenie, w którym uczeń lubi jednocześnie i matematykę i fizykę. Takich uczniów mamy trzech. Mamy więc:

\(P(A\cap B)=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}\)

My szukamy innego prawdopodobieństwa. Losujemy najpierw ucznia i zakładamy, że lubi on matematykę i badamy, jakie jest prawdopodobieństwo tego, że lubi jednocześnie fizykę. Czyli:

\(P(A/ B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} =\frac{\frac{1}{10}}{\frac{2}{3}} =\frac{3}{20}\)

Prawdopodobieństwo całkowite

Twierdzenie

Niech \(A_1,...,A_n\) oznaczają zdarzenia losowe o dodatnich prawdopodobieństwach wykluczających się parami, a suma tych zdarzeń jest zdarzeniem pewnym. Dla dowolnego zdarzenia \(B\) zachodzi zależność: (prawdopodobieństwo zupełne lub całkowite).

\(P(B)=P(A_1)P(B/A_1)+...+P(A_n)P(B/A_n)\)

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1 — maturalne.

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 15, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 18.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Doświadczenie i zdarzenie losowe

Pojęcie prawdopodobieństwa

Własności prawdopodobieństwa