Prędkość

Zdefiniowanie prędkości nie jest takie łatwe, jakby sie mogło wydawać. Jeżeli na jednej drodze w przeciwnych kierunkach jadą samochody, których prędkościomierze wskazują wartości 60 km/h, to czy auta te mają te samą prędkość? Chociażby ze względu na kierunek w jakim auta sie poruszają, prędkości tych aut są różne. Co wskazują prędkościomierze? Wskazują szybkość w danej chwili. Prędkość zaś jest zupełnie innym pojęciem.

Zapamiętaj

Szybkość średnia \(v_{śr}\) - iloraz drogi \(s\) przebytej do czasu \(t\) ruchu.

\(v_{sr}=\frac{s}{t}=\frac{\Delta s}{\Delta t}\).

Jednostką szybkości w układzie SI jest m/s.

Szybkość (chwilowa) - iloraz drogi przebytej do czasu, w którym ta droga została przebyta, w czasie Δt zmierzającym do zera.

Prędkość średnia jest to wektor będący ilorazem wektora przemieszczenia do czasu, w którym to przemieszczenie nastąpiło. \(\vec{v_s}=\frac{\vec{\Delta r}}{\Delta t}\)

Jednostką prędkości w układzie SI jest m/s.

Szybkość średnia

Szybkość średnia jest to iloraz drogi przebytej przez ciało do czasu, w którym ta droga została przebyta.

Możemy to zapisać następująco:

\(v_{sr}=\frac{s}{t}=\frac{\Delta s}{\Delta t}\)

Zauważ, że im większą drogę ciało przebędzie w ciągi czasu Δt, tym większą ma szybkość. Albo inaczej: im mniej czasu ciało potrzebuje na pokonanie drogi \(s\), tym większą ma szybkość.

Czym się różni zapis \(\frac{s}{t}\) od \(\frac{\Delta s}{\Delta t}\)? Znak \(\Delta\) oznacza przyrost. Jeżeli znamy z góry drogę \(s\) i czas \(t\) w jakim ta droga została przebyta, stosujemy wzór \frac{s}{t}\). Jeżeli natomiast mamy tylko początkowe i końcowe wartości drogi i czasu, korzystamy z drugiego wzoru. Przyrost wartości obliczamy poprzez odjęcie od wartości końcowej, wartości początkowej. np. Jeżeli wiemy, że czas początkowy wynosił 2 s, a końcowy 6 s, to przyrost czasu wynosi \(D\elta t=6s-2s=4s\)

Jednostką szybkości w układzie SI jest m/s.

Na ogół ciało przebywa dane odcinki drogi z różnymi prędkościami. Jeżeli dane są kolejno drogi \(s_1, s_2, s_3,...\) przebyte w odcinkach czasu \(t_1, t_2, t_3,...\), to szybkość średnią obliczymy ze wzoru:

\(v_{śr}=\frac{s_1+s_2+s_3+...}{s_t+s_t+s_t+...}\)

Powyższa definicja prędkości jest bardzo niedokładna. Już podczas jazdy samochodem widać, że to, że przybyliśmy 100 km w czasie 2 h daje nam możliwość wyznaczenia szybkości (v=100/2 km/h = 50 km/h), ale dobrze wiemy, że podczas jazdy nie poruszaliśmy się cały czas z taką szybkością.

Szybkość chwilowa

Szybkość chwilowa, albo po prostu szybkość, jest to iloraz drogi przebytej przez ciało do czasu, w którym ta droga została przebyta, w czasie Δt zmierzającym do zera.

\(v_{śr}=(\frac{\Delta s}{\Delta t})_{\Delta t\to 0}\)

Mówiąc inaczej, szybkość chwilowa jest to szybkość średnia, ale mierzona w odcinkach czasu bliskich zeru. Definicja ta odpowiada rzeczywistej wartości szybkości. Tylko jak ją obliczać z matematycznego punktu widzenia? Z pomocą przychodzi rachunek różniczkowy, ale to już jest zagadnienie na poziomie akademickim (patrz ramka poniżej).

Prędkość średnia

Prędkość średnia jest to iloraz wektora przemieszczenia do czasu, w którym to przemieszczenie nastąpiło.

\(\vec{v_s}=\frac{\vec{\Delta r}}{\Delta t}\)

W ten sposób zdefiniowana prędkość jest wielkością wektorową. Kierunek i zwrot wektora prędkości jest taki sam, jak kierunek i zwrot wektora przemieszczenia. Prędkość zatem nie tylko mówi nam z jaką wartością szybkości ciało się porusza, ale także jaki jest jej kierunek i zwrot.

Prędkość chwilowa

Prędkość chwilowa (prędkość) jest to iloraz wektora przemieszczenia do czasu, w którym to przemieszczenie nastąpiło, gdy czas Δt zmierza do zera.

\(\vec{v}=(\frac{\vec{\Delta r}}{\Delta t})_{\Delta t \to 0}\)

Mówiąc inaczej, prędkość chwilowa jest to prędkość średnia, ale mierzona w odcinkach czasu bardzo małych (bliskich zeru). Definicja ta odpowiada rzeczywistej prędkości. W takich przypadkach stosujemy już rachunek różniczkowy (patrz ramka poniżej).

Prędkość chwilowa jest w każdym punkcie styczna do toru ruchu.

Jednostką prędkości w układzie SI jest m/s.

Szybkość chwilowa (prędkość chwilowa) jest pochodną drogi względem czasu.

\(v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}\)

Z powyższego wzoru wynika, że przyrost drogi w czasie Δt obliczymy za pomocą całki:

\(\Delta s=\int\limits_{0}^{t}{vdt}\)

Prędkość definiujemy następująco:

\(\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}\)

Z powyższych rozważań wynika, że droga przebyta przez ciało w czasie Δt jest równa polu figury zawartej między wykresem zależności szybkości od czasu (zobacz rysunek poniżej). Daje na to graficzną możliwość znalezienia drogi, jaką ciało przebyło w danym czasie, jeżeli znany był tylko przebieg zmienności prędkości.

Graficzna metoda obliczania drogi

Składanie prędkości - symulacja

Symulacja

Symulacja ilustruje wpływ dodatkowej prędkości na prędkość własną ciała. To ćwiczenie świetnie pokazuje jak działa skłądanie prędkości jako wielkości wektorowej.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Ruch

Droga, przemieszczenie, tor ruchu

Przyspieszenie