Przedziały liczbowe
W matematyce często stosujemy tak zwane przedziały liczbowe. Określają one zakres liczb. Jest to bardzo wygodny sposób zapisu podzbioru zbioru liczb rzeczywistych.
Jeżeli interesuje nas zakres liczb od 0 do 1 włącznie, możemy to zapisać za pomocą przedziału domkniętego \(〈0;1〉\) lub \([0,1]\). Jeżeli chcielibyśmy zapisać zbiór liczb większych od 0 i mniejszych od 1 możemy użyć przedziału otwartego \((0;1)\). A oto bardziej ścisłe określenie pojęcia przedziałów.
Definicje przedziałów
Nazwa przedziału | Oznaczenie | Definicja |
przedział (obustronnie) otwarty | \((a;b)\) | \(x\in(a;b) \Leftrightarrow a<x<b\) |
przedział (obustronnie) zamknięty (domknięty) | \(〈a;b〉\) lub \([a,b]\) | \(x\in 〈a;b〉 \Leftrightarrow a\leq x\leq b\) |
przedział lewostronnie zamknięty (domknięty) | \(〈a;b)\) lub \([a,b)\) | \(x\in 〈a;b) \Leftrightarrow a\leq x<b\) |
przedział prawostronnie zamknięty (domknięty) | \((a;b〉\) lub \((a,b]\) | \(x\in(a;b〉 \Leftrightarrow a<x\leq b\) |
przedziały nieograniczone (nieskończone) | \((-\infty;a)\) \( (a;\infty)\) |
\(x\in(-\infty;a) \Leftrightarrow x<a\) \( x\in(a;∞)\Leftrightarrow x>a\) |
Przedziały na osi liczbowej
Przedziały mają swoją interpretację geometryczną. Poniższy rysunek ilustruje przedział domknięty \(\langle a;b\rangle \) i otwarty \((a;b)\):
Poniżej znajduje się interpretacja geometryczna przedziałów jednostronnie domkniętych.
Powyższy sposób graficznego przedstawiania przedziałów jest dobry, ale stwarza trudności podczas zaznaczania na osi wielu różnych przedziałów liczbowych. Stosujemy wówczas nieco inną, bardziej praktyczną metodę (jak na poniższym rysunku).
Na poniższym rysunku zilustrowano dwa przedziały liczbowe na jednej osi. Poprzez kreskowanie pól możemy łatwo wyznaczyć na przykład iloczyn (część wspólną) dwóch przedziałów. W poniższym przykładzie od razu widać, że częścią wspólną przedziałów \((a;b\rangle \) i \((c;d)\) jest przedział \((c;b\rangle \).
Działania na przedziałach liczbowych
Pamiętajmy, że przedziały to zbiory liczb, więc stosujemy tutaj zasady działań na zbiorach (przypomnij sobie informacje na temat: sumy, różnicy oraz iloczynu zbiorów). Szczególnie często będziesz korzystał z sumy i iloczynu przedziałów liczbowych przy okazji rozwiązywania układów równań i nierówności. Poniżej zamieszczono kilka przykładów działań na przedziałach.
Przykład 1
Suma przedziałów: \((-2;2\rangle \cup (0;4) = (-2;4)\)
Iloczyn przedziałów: \((-2;2\rangle \cap (0;4) = (0;2\rangle \)
Różnica przedziałów:
\((-2;2\rangle \setminus (0;4) = (-2;0\rangle \)
Zero należy do przedziału \((-2;2\rangle \), ale nie należy do przedziału \((0;4)\), więc należy do różnicy tych przedziałów w myśl definicji, że element należy do różnicy zbiorów, jeżeli należy do pierwszego zbioru i nie należy do zbioru drugiego.
\((0;4)\setminus (-2;2\rangle = (2;4)\)
Liczba 2 należy do przedziału \((-2;2\rangle\), a więc nie może należeć do rozpatrywanej różnicy przedziałów
W przypadku wyznaczania różnicy przedziałów zmienia się w niektórych przypadkach rodzaj przedziału z domkniętego na otwarty i odwrotnie.
Przykład 2
Suma przedziałów:
\(\langle -2;4)\cup (0;2\rangle = \langle -2;4)\)
Iloczyn przedziałów:
\(\langle -2;4)\cap (0;2\rangle = (0;2\rangle\)
Różnica przedziałów:
\(\langle -2;4)\setminus (0;2\rangle = \langle-2;0\rangle \cup (2;4)\)
\((0;2\rangle \setminus \langle -2;4) = \emptyset \)
Przykład 3
Suma przedziałów:
\(\langle -2;0)\cup \langle 0;\infty) = \langle -2;\infty )\)
Iloczyn przedziałów:
\(\langle -2;0) \cap \langle 0;\infty) = \emptyset\)
Różnica przedziałów:
\(\langle -2;0)\setminus \langle 0;\infty) = \langle -2;0)\)
\(\langle 0;\infty)\setminus \langle -2;0) = \langle 0;\infty)\)
Ćwiczenia
Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Zaznacz na osi liczbowej przedziały (-5; -2〉 ∪ (-1; 5〉 oraz 〈-6; -3) ∪ 〈0; 1〉. Zaznacz na osi część wspólną tych zbiorów oraz zapisz wynik za pomocą przedziału liczbowego.
Zadanie nr 2.
Znaleźć sumę, iloczyn oraz różnicę zbiorów \([-3; 3)\) i \((-4; 2]\).
Zadanie nr 3.
Znaleźć sumę, iloczyn oraz różnicę zbiorów \((-1; 1)\) i \(\langle2; 3)\).
Zadanie nr 4.
Zapisać za pomocą przedziału liczbowego zbiór wszystkich wartości x, które spełniają układ:
\(\begin{cases}x\geq -1\\ x>-2 \\ x<3 \end{cases}\)
Zadanie nr 5 — maturalne.
Wskaż rysunek, na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(-4\leq x-1\leq 4\).
Zadanie nr 6 — maturalne.
Rozważamy przedziały liczbowe \((−\infty, 5)\) i \(\langle −1, +\infty)\). Ile jest wszystkich liczb całkowitych, które należą jednocześnie do obu rozważanych przedziałów?
A. \(6\)
B. \(5\)
C. \(4\)
D. \(7\)
Powiązane quizy
Inne zagadnienia z tej lekcji
© medianauka.pl, 2008-10-23, A-90
Data aktualizacji artykułu: 2023-02-20