Przekształcenie geometryczne
Oto definicja przekształcenia geometrycznego.
Jeżeli każdemu punktowi \(P\) figury \(f\) został w sposób jednoznaczny przyporządkowany pewien punkt \(P'\), to znaczy, że zostało określone przekształcenie figury \(f\). Punkt \(P'\) nazywamy obrazem punktu \(P\). Zbiór punktów \(P'\) stanowi obraz \(f'\) figury \(f\) w danym przekształceniu.
Jeżeli \(K\) jest pewnym przekształceniem, to stosujemy następujący zapis:
\(K(P)=p'\)
\(K(f)=f'\)
Powyższy zapis czytamy następująco: obrazem punktu \(P\) (figury \(f\)) w przekształceniu \(K\) jest punkt \(P'\) (figura \(f'\)).
Zapis \(P'\) czytamy „\(P\) prim”.
![Animacja](grafika/x-animacja.gif)
Animacja
Przekształcenie tożsamościowe
Przekształcenie tożsamościowe jest to takie przekształcenie geometryczne, które każdemu punktowi figury \(f\) przyporządkowuje ten sam punkt.
Jeżeli w pewnym przekształceniu obrazem punktu \(P\) jest ten sam punkt, to mówimy, że punkt \(P\) jest punktem stałym w tym przekształceniu.
Izometria
Przekształcenie izometryczne (izometria) jest to takie przekształcenie geometryczne, które zachowuje odległość punktów tej figury.
Jeżeli więc w pewnym przekształceniu odległość między dowolnymi punktami figury jest taka sama jak odległość obrazów tych punktów, to mamy do czynienia z przekształceniem izometrycznym (izometrią).
Aksjomat
Dla każdych dwóch punktów płaszczyzny istnieje izometria nietożsamościowa, której punktami stałymi są te dwa punkty.
Twierdzenie
Jeżeli w pewnej izometrii trzy punkty niewspółliniowe są stałe, to izometria ta jest przekształceniem tożsamościowym.
Twierdzenie
Izometria zachowuje:
- współliniowość punktów,
- uporządkowanie punktów na prostej,
- wypukłość figury.
Powyższe twierdzenie oznacza, że w izometrii prostej jest prosta, odcinka — odcinek, a obrazem każdej figury wypukłej jest figura wypukła.
Warto też zapamiętać, że w izometrii obrazem okręgu jest okrąg, obrazem koła jest koło, brzegu figury — brzeg figury, wnętrza figury — wnętrze figury, zewnętrza figury — zewnętrze figury.
Izometria zachowuje także:
- prostopadłość,
- odległość punktu od figury.
Twierdzenie
Każda izometria jest symetrią osiową lub złożeniem dwóch symetrii osiowych lub złożeniem trzech symetrii osiowych.
Rodzaje przekształceń
Istnieje nieskończenie wiele przekształceń geometrycznych. W poniższej tabeli przedstawiono wykaz znanych i częściej używanych w matematyce przekształceń.
Nazwa przekształcenia | Uwagi |
Rzut równoległy na prostą | przekształcenie nieizometryczne |
Jednokładność | przekształcenie nieizometryczne |
Symetria osiowa | przekształcenie izometryczne |
Symetria środkowa | przekształcenie izometryczne |
Translacja | przekształcenie izometryczne |
Symetria z poślizgiem | przekształcenie izometryczne |
Obrót | przekształcenie izometryczne |
Przekształcenie odwrotne
Przekształcenie \(K_2\) nazywamy odwrotnym do przekształcenia \(K_1\), gdy dla każdego punktu \(P\) figury \(f\) prawdziwe jest zdanie:
\(K_2(P')=P\Leftrightarrow K_1(P)=P'\)
Przekształcenie odwrotne do przekształcenia \(K\) oznaczamy następująco: \(K^{-1}\) (zapis nie oznacza potęgi).
Powyższy zapis oznacza, że jeżeli przekształcimy punkt \(P\) za pomocą zdefiniowanego przekształcenia \(K_1\), to otrzymamy pewien obraz tego punktu \(P'\). Jeżeli obrazem punktu \(P'\) w przekształceniu \(K_2\) będzie punkt \(P\), to przekształcenie \(K_2\) jest przekształceniem odwrotnym do \(K_1\). Spójrz na poniższą animację.
![Animacja](grafika/x-animacja.gif)
Animacja
Złożenie obu przekształceń daje ciekawy efekt — mianowicie obrazem pewnego punktu jest ten sam punkt. Przekształcenia takie znoszą się wzajemnie.
\(K^{-1}K(P)=P\)
Składanie przekształceń
Przekształcenia geometryczne można łączyć. To znaczy najpierw figurę geometryczną \(f\) można poddać pewnemu przekształceniu \(P_1\), otrzymując obraz \(f'\), potem obraz ten można poddać kolejnemu przekształceniu \(P_2\), otrzymując kolejny obraz \(f''\) i można w ten sposób postępować dalej. Przekształcenie, które prowadzi od figury (w tym przypadku) \(f\) do \(f''\), nazywamy złożeniem przekształceń lub iloczynem przekształceń i możemy zapisać następująco:
\(P_2(P_1(f))=f''\) lub \(P_2P_1(f)=f''\)
![Animacja](grafika/x-animacja.gif)
Animacja
Składanie przekształceń nie zawsze jest przemienne, to znaczy, że zdarza się, że:
\(P_2P_1(f)\neq{P_1P_2(f)}\)
Kolejność wykonywania przekształceń figury geometrycznej ma więc znaczenie.
Twierdzenie
Składanie przekształceń jest łączne, to znaczy, że:
\(P_3[P_2P_1(f)]=(P_3P_2)P_1(f)\)
Ćwiczenia
Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.
Zadania z rozwiązaniami
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 1.
Znaleźć obraz kwadratu w przekształceniu będącym złożeniem czterech symetrii środkowych względem kolejnych wierzchołków tego kwadratu.
Inne zagadnienia z tej lekcji
© medianauka.pl, 2010-10-31, A-999
Data aktualizacji artykułu: 2023-07-15