Przekształcenie geometryczne

Oto definicja przekształcenia geometrycznego.

Jeżeli każdemu punktowi \(P\) figury \(f\) został w sposób jednoznaczny przyporządkowany pewien punkt \(P'\), to znaczy, że zostało określone przekształcenie figury \(f\). Punkt \(P'\) nazywamy obrazem punktu \(P\). Zbiór punktów \(P'\) stanowi obraz \(f'\) figury \(f\) w danym przekształceniu.

Jeżeli \(K\) jest pewnym przekształceniem, to stosujemy następujący zapis:

\(K(P)=p'\)

\(K(f)=f'\)

Powyższy zapis czytamy następująco: obrazem punktu \(P\) (figury \(f\)) w przekształceniu \(K\) jest punkt \(P'\) (figura \(f'\)).
Zapis \(P'\) czytamy „\(P\) prim”.

Animacja

Przekształcenie geometryczne

Przekształcenie tożsamościowe

Przekształcenie tożsamościowe jest to takie przekształcenie geometryczne, które każdemu punktowi figury \(f\) przyporządkowuje ten sam punkt.

Jeżeli w pewnym przekształceniu obrazem punktu \(P\) jest ten sam punkt, to mówimy, że punkt \(P\) jest punktem stałym w tym przekształceniu.

Izometria

Przekształcenie izometryczne (izometria) jest to takie przekształcenie geometryczne, które zachowuje odległość punktów tej figury.

Jeżeli więc w pewnym przekształceniu odległość między dowolnymi punktami figury jest taka sama jak odległość obrazów tych punktów, to mamy do czynienia z przekształceniem izometrycznym (izometrią).

Aksjomat

Dla każdych dwóch punktów płaszczyzny istnieje izometria nietożsamościowa, której punktami stałymi są te dwa punkty.

Twierdzenie

Jeżeli w pewnej izometrii trzy punkty niewspółliniowe są stałe, to izometria ta jest przekształceniem tożsamościowym.

Twierdzenie

Izometria zachowuje:

współliniowość punktów,
uporządkowanie punktów na prostej,
wypukłość figury.

Powyższe twierdzenie oznacza, że w izometrii prostej jest prosta, odcinka — odcinek, a obrazem każdej figury wypukłej jest figura wypukła.

Warto też zapamiętać, że w izometrii obrazem okręgu jest okrąg, obrazem koła jest koło, brzegu figury — brzeg figury, wnętrza figury — wnętrze figury, zewnętrza figury — zewnętrze figury.

Izometria zachowuje także:

prostopadłość,
odległość punktu od figury.

Twierdzenie

Każda izometria jest symetrią osiową lub złożeniem dwóch symetrii osiowych lub złożeniem trzech symetrii osiowych.

Rodzaje przekształceń

Istnieje nieskończenie wiele przekształceń geometrycznych. W poniższej tabeli przedstawiono wykaz znanych i częściej używanych w matematyce przekształceń.

Nazwa przekształcenia	Uwagi
Rzut równoległy na prostą	przekształcenie nieizometryczne
Jednokładność	przekształcenie nieizometryczne
Symetria osiowa	przekształcenie izometryczne
Symetria środkowa	przekształcenie izometryczne
Translacja	przekształcenie izometryczne
Symetria z poślizgiem	przekształcenie izometryczne
Obrót	przekształcenie izometryczne

Przekształcenie odwrotne

Przekształcenie \(K_2\) nazywamy odwrotnym do przekształcenia \(K_1\), gdy dla każdego punktu \(P\) figury \(f\) prawdziwe jest zdanie:

\(K_2(P')=P\Leftrightarrow K_1(P)=P'\)

Przekształcenie odwrotne do przekształcenia \(K\) oznaczamy następująco: \(K^{-1}\) (zapis nie oznacza potęgi).

Powyższy zapis oznacza, że jeżeli przekształcimy punkt \(P\) za pomocą zdefiniowanego przekształcenia \(K_1\), to otrzymamy pewien obraz tego punktu \(P'\). Jeżeli obrazem punktu \(P'\) w przekształceniu \(K_2\) będzie punkt \(P\), to przekształcenie \(K_2\) jest przekształceniem odwrotnym do \(K_1\). Spójrz na poniższą animację.

Animacja

Przekształcenie odwrotne

Złożenie obu przekształceń daje ciekawy efekt — mianowicie obrazem pewnego punktu jest ten sam punkt. Przekształcenia takie znoszą się wzajemnie.

\(K^{-1}K(P)=P\)

Składanie przekształceń

Przekształcenia geometryczne można łączyć. To znaczy najpierw figurę geometryczną \(f\) można poddać pewnemu przekształceniu \(P_1\), otrzymując obraz \(f'\), potem obraz ten można poddać kolejnemu przekształceniu \(P_2\), otrzymując kolejny obraz \(f''\) i można w ten sposób postępować dalej. Przekształcenie, które prowadzi od figury (w tym przypadku) \(f\) do \(f''\), nazywamy złożeniem przekształceń lub iloczynem przekształceń i możemy zapisać następująco:

\(P_2(P_1(f))=f''\) lub \(P_2P_1(f)=f''\)

Animacja

Złożenie przekształceń

Składanie przekształceń nie zawsze jest przemienne, to znaczy, że zdarza się, że:

\(P_2P_1(f)\neq{P_1P_2(f)}\)

Kolejność wykonywania przekształceń figury geometrycznej ma więc znaczenie.

Twierdzenie

Składanie przekształceń jest łączne, to znaczy, że:

\(P_3[P_2P_1(f)]=(P_3P_2)P_1(f)\)

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.