Przekształcenie geometryczne

Oto definicja przekształcenia geometrycznego.

Jeżeli każdemu punktowi $P$ figury $f$ został w sposób jednoznaczny przyporządkowany pewien punkt $P^{'}$ , to znaczy, że zostało określone przekształcenie figury $f$ . Punkt $P^{'}$ nazywamy obrazem punktu $P$ . Zbiór punktów $P^{'}$ stanowi obraz $f^{'}$ figury $f$ w danym przekształceniu.

Jeżeli $K$ jest pewnym przekształceniem, to stosujemy następujący zapis:

$K (P) = p^{'}$

$K (f) = f^{'}$

Powyższy zapis czytamy następująco: obrazem punktu $P$ (figury $f$ ) w przekształceniu $K$ jest punkt $P^{'}$ (figura $f^{'}$ ).
Zapis $P^{'}$ czytamy „ $P$ prim”.

Animacja

Przekształcenie geometryczne

Przekształcenie tożsamościowe

Przekształcenie tożsamościowe jest to takie przekształcenie geometryczne, które każdemu punktowi figury $f$ przyporządkowuje ten sam punkt.

Jeżeli w pewnym przekształceniu obrazem punktu $P$ jest ten sam punkt, to mówimy, że punkt $P$ jest punktem stałym w tym przekształceniu.

Izometria

Przekształcenie izometryczne (izometria) jest to takie przekształcenie geometryczne, które zachowuje odległość punktów tej figury.

Jeżeli więc w pewnym przekształceniu odległość między dowolnymi punktami figury jest taka sama jak odległość obrazów tych punktów, to mamy do czynienia z przekształceniem izometrycznym (izometrią).

Aksjomat

Dla każdych dwóch punktów płaszczyzny istnieje izometria nietożsamościowa, której punktami stałymi są te dwa punkty.

Twierdzenie

Jeżeli w pewnej izometrii trzy punkty niewspółliniowe są stałe, to izometria ta jest przekształceniem tożsamościowym.

Twierdzenie

Izometria zachowuje:

współliniowość punktów,
uporządkowanie punktów na prostej,
wypukłość figury.

Powyższe twierdzenie oznacza, że w izometrii prostej jest prosta, odcinka — odcinek, a obrazem każdej figury wypukłej jest figura wypukła.

Warto też zapamiętać, że w izometrii obrazem okręgu jest okrąg, obrazem koła jest koło, brzegu figury — brzeg figury, wnętrza figury — wnętrze figury, zewnętrza figury — zewnętrze figury.

Izometria zachowuje także:

prostopadłość,
odległość punktu od figury.

Twierdzenie

Każda izometria jest symetrią osiową lub złożeniem dwóch symetrii osiowych lub złożeniem trzech symetrii osiowych.

Rodzaje przekształceń

Istnieje nieskończenie wiele przekształceń geometrycznych. W poniższej tabeli przedstawiono wykaz znanych i częściej używanych w matematyce przekształceń.

Nazwa przekształcenia	Uwagi
Rzut równoległy na prostą	przekształcenie nieizometryczne
Jednokładność	przekształcenie nieizometryczne
Symetria osiowa	przekształcenie izometryczne
Symetria środkowa	przekształcenie izometryczne
Translacja	przekształcenie izometryczne
Symetria z poślizgiem	przekształcenie izometryczne
Obrót	przekształcenie izometryczne

Przekształcenie odwrotne

Przekształcenie $K_{2}$ nazywamy odwrotnym do przekształcenia $K_{1}$ , gdy dla każdego punktu $P$ figury $f$ prawdziwe jest zdanie:

$K_{2} (P^{'}) = P \Leftrightarrow K_{1} (P) = P^{'}$

Przekształcenie odwrotne do przekształcenia $K$ oznaczamy następująco: $K^{- 1}$ (zapis nie oznacza potęgi).

Powyższy zapis oznacza, że jeżeli przekształcimy punkt $P$ za pomocą zdefiniowanego przekształcenia $K_{1}$ , to otrzymamy pewien obraz tego punktu $P^{'}$ . Jeżeli obrazem punktu $P^{'}$ w przekształceniu $K_{2}$ będzie punkt $P$ , to przekształcenie $K_{2}$ jest przekształceniem odwrotnym do $K_{1}$ . Spójrz na poniższą animację.

Animacja

Przekształcenie odwrotne

Złożenie obu przekształceń daje ciekawy efekt — mianowicie obrazem pewnego punktu jest ten sam punkt. Przekształcenia takie znoszą się wzajemnie.

$K^{- 1} K (P) = P$

Składanie przekształceń

Przekształcenia geometryczne można łączyć. To znaczy najpierw figurę geometryczną $f$ można poddać pewnemu przekształceniu $P_{1}$ , otrzymując obraz $f^{'}$ , potem obraz ten można poddać kolejnemu przekształceniu $P_{2}$ , otrzymując kolejny obraz $f^{″}$ i można w ten sposób postępować dalej. Przekształcenie, które prowadzi od figury (w tym przypadku) $f$ do $f^{″}$ , nazywamy złożeniem przekształceń lub iloczynem przekształceń i możemy zapisać następująco: