Relacje w matematyce

Pomiędzy dowolnymi elementami zbiorów można określić pewne związki logiczne, które nazywamy relacjami.

W zbiorze liczb rzeczywistych określone są następujące relacje:

równości (\(=\))
mniejszości (\(<\))

Relacja równości

Jeżeli liczby \(a\) i \(b\) są równe, zapisujemy wówczas, że \(a=b\).

Relacja mniejszości

Jeżeli liczba \(a\) jest mniejsza od \(b\), to zapisujemy to w następujący sposób: \(a<b\). Można to zdanie również zapisać w taki sposób: \(b>a\) (\(b\) jest większe od \(a\)) — jest to zapis równoważny.

Prawo trychotomii

Dla każdych dwóch liczb rzeczywistych zachodzi dokładnie jedna relacja z trzech:

a = b
a < b
b < a

Relacja mniejszości porządkuje zbiór \(\mathbb{R}\).

Relacja (oznaczmy przykładową relację przez ☼) jest równowartościowa, gdy jest:

zwrotna, tzn. a ☼ a
symetryczna tzn. a ☼ b ⇒ b ☼ a
przechodnia, tzn. [(a ☼ b) ∧(b ☼ c)] ⇒ a ☼ c

Przykłady

Relacja równości jest zwrotna (ponieważ \(a = a\)), natomiast relacja mniejszości nie jest zwrotna. Relacja równości jest symetryczna (ponieważ a = b ⇒ b = a), natomiast relacja mniejszości nie jest symetryczna. Relacja równości jest przechodnia, ponieważ [(a = b) ∧ (b = c)] ⇒ a = c (czytaj: jeżeli a jest równe b i b jest równe c, to a jest równe c). Relacja mniejszości również jest przechodnia, ponieważ jeżeli a jest mniejsze o b i b jest mniejsze od c, to a jest mniejsze od c.

A oto inny przykład relacji — podzielność dwóch liczb naturalnych. Możemy określić wszystkie pary liczb naturalnych, będących ze sobą w relacji podzielności drugiej przez pierwszą. Takimi parami są (2, 4), (3 9),(10, 10000), ... ale już nie (3, 4) czy (2, 177181). Oznaczmy tę relację przez „|”. Możemy wówczas zapisać tę relację między a i b jako a|b. Zauważamy, że relacja "|" jest zwrotna (bo liczba jest podzielna sama przez siebie, tzn. a|a), nie jest symetryczna (na przykład 4 jest podzielne przez 2, ale 2 nie jest podzielne przez 4) i jest przechodnia. Celowo w tym przykładzie pokazano, że o relacji możemy mówić jak o parach liczb, aby zilustrować, że:

Relacja to nic innego jak podzbiór iloczynu kartezjańskiego zbiorów (w tym przykładzie jest to podzbiór zbioru \(\mathbb{N}×\mathbb{N}\)). Oczywiście możemy również definiować relacje wieloargumentowe, jednak najczęściej posługujemy się relacjami dwuargumentowymi (=, <, >, |, ≤ i wiele innych).