Relatywistyczne dodawanie prędkości

Jeżeli obserwator znajduje się w układzie odniesienia U (XOY), a punkt P porusza się w układzie U' (wzdłuż osi OX) z prędkością v', natomiast sam układ U' porusza się z prędkością u względem układu U, to w klasycznej mechanice obserwator zmierzy prędkość tego punktu jako sumę: v=v'+u (czyli prędkość tego punktu w układzie U' powiększoną o prędkość poruszania się samego układu odnienienia U').

Jest to prawda w przypadku małych prędkości. W przypadku dużych prędkości, porównywalnych z prędkością światła, nie jest to prawda.

Z transformacji Lorenza wynika, że:

$x'=\gamma(x-ut)\\ y'=y\\ z'=z \\t'=\gamma(t-\frac{u}{c^2}x)\\ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$

Prędkość jest związana zarówno z położeniem punktu materialnego x w układzie odniesienia jak i z czasem t, w którym się ten punkt przemiesza.

Poziom zaawansowany

Prędkość jest pochodną położenia punktu po czasie:

Obliczając te pochodne, otrzymujemy zupełnie inny wynik dodawania prędkości, niż to uczyniliśmy na początku artykułu.

Zależność między układem U i U' jest następująca:

$U \rightarrow U'\\ v=\frac{v'+u}{1+\frac{uv'}{c^2}}$

A w drugą stronę:

$U' \rightarrow U\\ v'=\frac{v-u}{1-\frac{uv}{c^2}}$

W przypadku, gdy układ U' porusza się względem układu U w dowolny sposób, związki między poszczególnymi składowymi prędkości v' a v są następujące:

$U \rightarrow U'\\ v_x=\frac{v'_x+u}{1+\frac{uv'_x}{c^2}}\\ v_y=\frac{v'_y}{\gamma(1+\frac{uv'_x}{c^2})}\\\\ v_z=\frac{v'_z}{\gamma(1+\frac{uv'_x}{c^2})}\\ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$

Szczególne przypadki

Interesujące są szczególne przypadki analizy powyższych wzorów.

Przypadek 1

Jeżeli prędkość u oraz v' są znacznie mniejsze od prędkości światła, czyli u<<c i v'<<c, to:

Otrzymujemy klasyczne dodawanie prędkości. Stąd wniosek, że mechanika klasyczna jest szczególnym przypadkiem mechaniki relatywistycznej.

Przypadek 2

Jeżeli przyjmiemy, że w układzie U' punkt P porusza się z prędkością światła c, czyli v'=c, to:

$v = \frac{c+u}{1+\frac{uc}{c^2}}=\frac{c+u}{\frac{c^2+uc}{c^2}}=\frac{c^2(u+c)}{c(u+c)}=c$

Otrzymujemy postulat szczególnej teorii względności. W obu układach prędkość światła jest stała, równa c.

Transformacja Lorentza

Dla prędkości relatywistycznych, czyli zbliżonych do prędkości światła obowiązuje transformacja Lorentza.