Relatywistyczne dodawanie prędkości

Jeżeli obserwator znajduje się w układzie odniesienia \(U\) \((XOY)\), a punkt \(P\) porusza się w układzie \(U'\) (wzdłuż osi \(OX\)) z prędkością \(v'\), natomiast sam układ \(U'\) porusza się z prędkością \(u\) względem układu \(U\), to w klasycznej mechanice obserwator zmierzy prędkość tego punktu jako sumę: \(v=v'+u\) (czyli prędkość tego punktu w układzie \(U'\) powiększoną o prędkość poruszania się samego układu odnienienia \(U'\)).

Jest to prawda w przypadku małych prędkości. W przypadku dużych prędkości, porównywalnych z prędkością światła, nie jest to prawda.

Z transformacji Lorenza wynika, że:

\(x'=\gamma(x-ut)\)

\(y'=y\)

\(z'=z\)

\(t'=\gamma(t-\frac{u}{c^2}x)\)

\(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\)

Prędkość jest związana zarówno z położeniem punktu materialnego \(x\) w układzie odniesienia jak i z czasem \(t\), w którym się ten punkt przemiesza.

Poziom zaawansowany

Prędkość jest pochodną położenia punktu po czasie:

\(v'=\frac{dx'}{dt'}=\frac{dx'}{dt}/\frac{dt'}{dt}\)

Obliczając te pochodne, otrzymujemy zupełnie inny wynik dodawania prędkości, niż to uczyniliśmy na początku artykułu.

Zależność między układem \(U\) i \(U'\) jest następująca:

\(U \rightarrow U'\)
\(v=\frac{v'+u}{1+\frac{uv'}{c^2}}\)

A w drugą stronę:

\(U' \rightarrow U\)
\(v'=\frac{v-u}{1-\frac{uv}{c^2}}\)

W przypadku, gdy układ \(U'\) porusza się względem układu \(U\) w dowolny sposób, związki między poszczególnymi składowymi prędkości \(v'\) a \(v\) są następujące:

\(U \rightarrow U'\)

\(v_x=\frac{v'_x+u}{1+\frac{uv'_x}{c^2}}\)

\(v_y=\frac{v'_y}{\gamma(1+\frac{uv'_x}{c^2})}\)

\(v_z=\frac{v'_z}{\gamma(1+\frac{uv'_x}{c^2})}\)

\(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\)

Szczególne przypadki

Interesujące są szczególne przypadki analizy powyższych wzorów.

Przypadek 1

Jeżeli prędkość \(u\) oraz \(v'\) są znacznie mniejsze od prędkości światła, czyli \(u\lt\lt c\) i \(v'\lt \lt c\), to:

\(\frac{uv}{c^2}\to 0\)

\(v\to \frac{v'+u}{1+0}=v'+u\)

Otrzymujemy klasyczne dodawanie prędkości. Stąd wniosek, że mechanika klasyczna jest szczególnym przypadkiem mechaniki relatywistycznej.

Przypadek 2

Jeżeli przyjmiemy, że w układzie \(U'\) punkt \(P\) porusza się z prędkością światła \(c\), czyli \(v'=c\), to:

\(v=\frac{c+u}{1+\frac{uc}{c^2}}=\frac{c+u}{\frac{c^2+uc}{c^2}}=\frac{c^2(u+c)}{c(u+c)}=c\)

Otrzymujemy postulat szczególnej teorii względności. W obu układach prędkość światła jest stała, równa c.

Transformacja Lorentza