Równania trygonometryczne

Równanie trygonometryczne jest to równanie, w którym niewiadome występują wyłącznie pod znakami funkcji trygonometrycznych.

Przykłady

Oto przykłady równań trygonometrycznych:

\(\sin(x-2)=1\)
\(\frac{1}{\sin{x}}-3=\cos{x}\)
\(tg{4x}=0\)

Rozwiązania równań trygonometrycznych

Rozwiązaniem równania trygonometrycznego możne być kąt skierowany lub w innej interpretacji miara kąta skierowanego. Mówimy więc o dwóch interpretacjach rozwiązania równania trygonometrycznego i dwóch nowych pojęciach:

Rozwiązanie podstawowe równania trygonometrycznego jest to zbiór wszystkich kątów skierowanych spełniających dane równanie.

Rozwiązanie ogólne równania trygonometrycznego jest to zbiór wszystkich miar kątów skierowanych spełniających dane równanie.

Przykład

Rozwiążemy równanie trygonometryczne z parametrem \(\sin{x}=a\).

Sporządzamy koło trygonometryczne:

rysunek 1

Jeżeli \(a\) jest liczbą mniejszą od 1 i większą od -1 (czyli \(|a|<1\)), to odpowiednia prosta (zaznaczona linią przerywaną na rysunku) przecina koło trygonometryczne w dwóch punktach: \(A_1, A_2\), wyznaczając dwa kąty, które spełniają równanie. Kąty te można wyrazić za pomocą miary głównej. Otrzymujemy więc rozwiązanie podstawowe: \(x_1=\alpha \, x_2=180^o-\alpha\).

Wszystkie miary stopniowe danego kąta otrzymamy, jeśli do miary tego kąta dodamy dowolną całkowitą wielokrotność miary kąta pełnego. Mamy więc rozwiązanie ogólne: \(x_1=\alpha +k\cdot 360^o, x_2=180^o-\alpha+k\cdot 360^o, k\in C\).

Jeżeli \(a>1\) lub \(a< -1\), czyli \(|a|>1\), to równanie to nie ma rozwiązań. (odpowiednia prosta nie przecina koła trygonometrycznego (patrz rysunek).

rysunek 2

Jeżeli \(a=1\), to:

rysunek 3

Mamy wówczas jedno rozwiązanie podstawowe \(x=90^o\) i rozwiązanie ogólne: \(x=90^o+k\cdot 360^o,\ k\in C\).

Jeżeli \(a=-1\), to:

rysunek 4

Mamy wówczas jedno rozwiązanie podstawowe \(x=-90^o\) i rozwiązanie ogólne: \(x=-90^o+k\cdot 360^o,\ k\in C\).

Reasumując:

Przypadek	Rozwiązanie podstawowe	Rozwiązanie ogólne
\(\|a\|>1\)	Brak rozwiązań.	Brak rozwiązań.
\(a=1\)	\(x=90^o\)	\(x=90^o+k\cdot 360^o,\ k\in C\)
\(a=-1\)	\(x=-90^o\)	\(x=-90^o+k\cdot 360^o,\ k\in C\)
\(\|a\|<1\)	\(x=\alpha\ \vee \ x=180^o-\alpha\)	\(x=\alpha+k\cdot 360^o\ \vee \ x=180^o-\alpha+k\cdot 360^o,\ k\in C\)

Wzory trygonometryczne a równania trygonometryczne

Przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych bardzo często przydają się wzory trygonometryczne. Warto się z nimi zapoznać. Wzory trygonometryczne przedstawiamy i omawiamy tutaj.

Równania elementarne

Równania:
\(\sin{x}=a, \cos{x}=a, tgx=a, ctgx=a\)
nazywamy równaniami elementarnymi.

Rozwiązując równania trygonometryczne, staramy się doprowadzić je do równania elementarnego. Powyżej pokazano sposób rozwiązania jednego z takich równań. W praktyce należy pamiętać rozwiązania równań elementarnych.

Równania trygonometryczne — wzory

Poniżej zostały przedstawione rozwiązania wszystkich równań elementarnych:

\((\sin{x}=a \ \wedge \ |a|\leq 1) \Leftrightarrow x=x_0+2k\pi \ \vee \ x=(\pi-x_0)+2k\pi,\ k\in C\)

\((\cos{x}=a \ \wedge \ |a|\leq 1) \Leftrightarrow x=x_0+2k\pi \ \vee \ x=-x_0+2k\pi,\ k\in C\)

\(tgx=a \Leftrightarrow x=x_0+k\pi,\ k\in C\)

\(ctgx=a \Leftrightarrow x=x_0+k\pi, ,\ k\in C\)

\(x_0\) jest to najmniejsze dodatnie rozwiązanie.

Gdy \(|a|>1\), równania \(\sin{x}=a\), \(\cos{x}=a\) nie mają rozwiązania.

Proste równania trygonometryczne mogą być rozwiązane z użyciem powyższych wzorów.

Rozwiązania powyższe dobrze widać na wykresie:

graficzne rozwiązanie równania sinx=a

graficzne rozwiązanie równania cosx=a

graficzne rozwiązanie równania tgx=a

graficzne rozwiązanie równania ctgx=a

Pytania

Jak rozwiązać równania trygonometryczne?

Na to pytanie odpowiadamy w kolejnym artykule: Rozwiązywanie równań trygonometrycznych.

Ile rozwiązań ma równanie trygonometryczne?

Jeżeli równanie trygonometryczne posiada rozwiązanie, to często tych rozwiązań jest nieskończenie wiele, z uwagi na to, że funkcja trygonometryczna to funkcja okresowa.