Równanie Schrödingera

Podstawowe równanie w mechanice kwantowej nosi nazwę równania Schrödingera. Równanie to zostało sformułowane w 1926 roku prze Erwina Schrödingera, przyjmując, że cząstki mają własności falowe zgodnie z hipotezą fal materii de Broglie'a.

Przy sformułowaniu tego równania wykorzystano prace matematyczne W. R. Hamiltona. Opracowano aparat matematyczny, który pozwalał z niezwykłą precyzją rozwiązywać problemy mechaniki kwantowej. Rozpoczęła się rewolucja w fizyce. Niestety aparat matematyczny zastosowany w mechanice kwantowej jest bardzo trudny. W niniejszym artykule tylko dotkniemy tej tematyki.

Funkcja falowa

Zgodnie z hipotezą de Broglie'a każda cząstka ma własności falowe. Przypisujemy jej pewną funkcję \(\Psi\) współrzędnych położenia i czasu. Zakładamy, że funkcja ta może przyjmować wartości zespolone. To tak zwana funkcja falowa.

Tak zdefiniowana funkcja jest zwykłym aparatem matematycznym i nie można jej przypisać żadnego sensu fizycznego. Funkcja w takiej postaci jest rozwiązaniem równania Shrodingera i dopiero kiedy obliczymy kwadrat z modułu funkcji falowej \(\Psi (x,y,z,t)\), to otrzymamy tak zwaną gęstość prawdopodobieństwa \(p\) znalezienia cząstki w danej chwili \(t\) w punkcie o współrzędnych \((x,y,z)\).

Zapisujemy to w następujący sposób:

\(|\Psi |^2=p\)

Całka z gęstości prawdopodobieństwa po całej objętości w przestrzeni jest równa jedności:

\(\int|\Psi|^2dV=1\)

Zakłada się, że jeżeli badamy daną cząstkę w pewnej objętości w przestrzeni, to mamy pewność, że ją tam znajdziemy. Nie potrafimy jednak dokładnie powiedzieć w jakim punkcie przestrzeni z całą pewnością ta cząstka się znajduje. Rozwiązując równanie Schrödingera, otrzymamy funkcję falową, która da nam tylko możliwość określenia, w jakich miejscach w przestrzeni znalezienie cząstki jest bardziej prawdopodobne, a w jakiej objętości jest to mniej prawdopodobne.

Równanie

Poziom zaawansowany

Równanie falowe Schrödingera dla pojedynczej cząstki ma postać:

\(i\hbar\frac{\delta{\Phi}}{\delta{t}}=\hat{H}\Psi\)

lub

\(i\hbar\frac{\delta{\Psi}}{\delta{t}}=-\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\delta^2\Psi}{\delta{x^2}}+\frac{\delta^2\Psi}{\delta{z^2}}+\frac{\delta^2\Psi}{\delta{x^2}})+V(x,y,z,t)\Psi\)

gdzie

\(\hbar =\frac{h}{2\pi}\) - stała Diraca,

\(h\) - stała Plancka,

\(\Psi\) - funkcja falowa cząstki,

\(V(x,y,z,t)\) - całkowita energia potencjalna cząstki,

\(m\) - masa cząstki,

\(i\) - jednostka urojona.

\(\hat{H}\) - hamiltonian.

Jeżeli funkcja falowa nie zależy jawnie od czasu, otrzymujemy uproszczoną postać równania Schrödingera:

\(-\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\delta^2\Psi}{\delta{x^2}}+\frac{\delta^2\Psi}{\delta{z^2}}+\frac{\delta^2\Psi}{\delta{x^2}})+V(x,y,z)\Psi=E\Psi\)

gdzie \(E\) jest energią całkowitą cząstki. Można znaleźć rozwiązania, w których funkcja falowa zależy wykładniczo od czasu.

Rozwiązanie równania Schrodingera daje informacje o rozkładzie energii całkowitej danej cząstki. Już dla samego atomu wodoru, który składa się z jednego elektronu i jądra nie jest to łatwe. Dla układu wielu cząstek (atomu z wieloma elektronami) równanie to znacznie się komplikuje. rozwiązanie można znaleźć tylko dla nielicznej grupy przypadków. Najczęściej stosuje się przybliżone metody szukania rozwiązań, w tym tak zwany rachunek zaburzeń.

Dla elektronów w studni potencjału czy w atomie wartości energii okazują się być nieciągłe, to znaczy przyjmują ściśle określone wartości. Mówimy, że energia takiej cząstki jest skwantowana.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Liczby kwantowe

Konfiguracja elektronowa

Zakaz Pauliego