Równanie fali
Będziemy rozpatrywać falę harmoniczną płaską, czyli taką, w której cząstki ośrodka wykonują drgania harmoniczne, a powierzchnie falowe są równoległe.
Jeżeli kierunek fali będzie zgodny z kierunkiem osi x, a wychylenie cząsteczek ośrodka zgodne z osią y układu odniesienia, to:
gdzie:
- y - wychylenie cząsteczek ośrodka materialnego,
- A - amplituda,
- t - czas,
- ω - częstość kołowa,
- φ - faza drgań.
Można tak dobrać układ odniesienia, aby faza φ w chwili t=0 była równa zeru (mamy więc y=Acos(ω·0+0)=Acos0).
Jeżeli v oznacza prędkość rozchodzenia się fali, to po czasie t=x/v punkt o współrzędnej x będzie miał taką samą fazę, tzn. y=Acos(ω·x/v+φ) i wychylenia y drgającego punktu będą równe.
Mamy więc Acos0=Acos(ω·x/v+φ), czyli
ω·x/v+φ=0
φ=-ωx/v
Wielkość ω/v to tak zwana liczba falowa.
Zatem otrzymujemy równanie harmoniczne fali płaskiej:
lub z uwagi na parzystość funkcji cosinus:
Długość fali to odległość między kolejnymi drgającymi punktami znajdujących się w tej samej fazie, czyli różniących się o kąt pełny 2π.
Zatem 2π=kλ, czyli λ=2π/k.
Inne przydatne zależności to λ=2πv/ω=vT i λ=v/f.
Korzystając z tych zależności otrzymujemy inną postać równania fali harmonicznej:
Jeżeli chcemy analizować ruch fali w dowolnym kierunku, na przykład w kierunku wektora , a położenie punktu w układzie współrzędnych opiszemy za pomocą wektora wodzącego , to równanie falowe przyjmuje postać:
Funkcja falowa
Opiszemy przypadek rozchodzenia się fali w jednym kierunku.
Jeżeli przez Ψ oznaczymy zaburzenie ośrodka (na przykład wychylenie z położenia równowagi) , to ogólne równanie fali w chwili t=0 opisze nam pena funkcja f(x), czyli Ψ=f(x). Po czasie t fala funkcja ta przyjmuje postać Ψ=f(x-vt).
Obliczymy różniczkę podwójną po czasie powyższej funkcji:
i
Obliczymy teraz różniczkę drugiego rzędu funkcji falowej po współrzędnej x:
.
Mamy więc prawdziwą równość:
To różniczkowe równanie ruchu falowego prawdziwe dla każdego rodzaju fali.
Można to równanie uogólnić na współrzędne przestrzenne:
Używając operatora Laplace'a (laplasjan) równanie różniczkowe ruchu falowego w przestrzeni przyjmuje postać:
Funkcja Ψ to tak zwana funkcja falowa.
© medianauka.pl, 2021-08-17, A-4142