Równanie fali

Będziemy rozpatrywać falę harmoniczną płaską, czyli taką, w której cząstki ośrodka wykonują drgania harmoniczne, a powierzchnie falowe są równoległe.

Jeżeli kierunek fali będzie zgodny z kierunkiem osi x, a wychylenie cząsteczek ośrodka zgodne z osią y układu odniesienia, to:

y=Acos(ωt+φ)

gdzie:

y - wychylenie cząsteczek ośrodka materialnego,
A - amplituda,
t - czas,
ω - częstość kołowa,
φ - faza drgań.

Można tak dobrać układ odniesienia, aby faza φ w chwili t=0 była równa zeru (mamy więc y=Acos(ω·0+0)=Acos0).

Jeżeli v oznacza prędkość rozchodzenia się fali, to po czasie t=x/v punkt o współrzędnej x będzie miał taką samą fazę, tzn. y=Acos(ω·x/v+φ) i wychylenia y drgającego punktu będą równe.

Mamy więc Acos0=Acos(ω·x/v+φ), czyli

ω·x/v+φ=0

φ=-ωx/v

Wielkość ω/v to tak zwana liczba falowa.

Zatem otrzymujemy równanie harmoniczne fali płaskiej:

y=Acos(ωt-kx)

lub z uwagi na parzystość funkcji cosinus:

y=Acos(kx-ωt)

Długość fali to odległość między kolejnymi drgającymi punktami znajdujących się w tej samej fazie, czyli różniących się o kąt pełny 2π.

Zatem 2π=kλ, czyli λ=2π/k.

Inne przydatne zależności to λ=2πv/ω=vT i λ=v/f.

Korzystając z tych zależności otrzymujemy inną postać równania fali harmonicznej:

Jeżeli chcemy analizować ruch fali w dowolnym kierunku, na przykład w kierunku wektora $\vec{k}$ , a położenie punktu w układzie współrzędnych opiszemy za pomocą wektora wodzącego , to równanie falowe przyjmuje postać:

Poziom zaawansowany

Funkcja falowa

Opiszemy przypadek rozchodzenia się fali w jednym kierunku.

Jeżeli przez Ψ oznaczymy zaburzenie ośrodka (na przykład wychylenie z położenia równowagi) , to ogólne równanie fali w chwili t=0 opisze nam pena funkcja f(x), czyli Ψ=f(x). Po czasie t fala funkcja ta przyjmuje postać Ψ=f(x-vt).

Obliczymy różniczkę podwójną po czasie powyższej funkcji:

$\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=v^2f''(x-vt)$

Obliczymy teraz różniczkę drugiego rzędu funkcji falowej po współrzędnej x:

$\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}=f''(x-vt)$ .

Mamy więc prawdziwą równość:

$\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=0$

To różniczkowe równanie ruchu falowego prawdziwe dla każdego rodzaju fali.

Można to równanie uogólnić na współrzędne przestrzenne:

$\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\Psi}{\partial z^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=0$

Używając operatora Laplace'a (laplasjan) równanie różniczkowe ruchu falowego w przestrzeni przyjmuje postać:

$\nabla^2\Psi-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2}=0$

Funkcja Ψ to tak zwana funkcja falowa.

Fala mechaniczna