Równanie kwadratowe z parametrem

Rozwiązać równanie ze względu na zmienną x.

\((m-1)x^2+x+3=0\)

Aby powyższe równanie mogło być równaniem kwadratowym, wartość współczynnika przy drugiej potędze x musi być różna od zera:

\(m-1\neq{0}\)

\(m\neq{1}\)

Dla \(m=1\) mamy równanie liniowe \(x+3=0\), którego rozwiązaniem jest liczba (-3).

Zajmijmy się jednak przypadkiem równania kwadratowego. Mamy tutaj:

\(a=m-1, b=1, c=3\)

Obliczamy wyróżnik \(\Delta=b^2-4ac=1-12(m-1)=1-12m+12=-12m+13\).

Możliwe są trzy przypadki. Musimy je wszystkie rozpatrzyć.

• Jeżeli \(\Delta>0\Leftrightarrow{-12m+13>0} \Leftrightarrow {12m<13}\Leftrightarrow{m<1\frac{1}{12}}\), równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste:
  \(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-\sqrt{13-12m}}{2(m-1)}\)
  \(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+\sqrt{13-12m}}{2(m-1)}\)
• Jeżeli \(\Delta=0\Leftrightarrow{-12m+13=0} \Leftrightarrow {m=1\frac{1}{12}}\) równanie ma jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty:
  \(x_0=\frac{-b}{2a}=-\frac{1}{2(m-1)}\)
• Jeżeli \(\Delta<0\Leftrightarrow{m>1\frac{1}{12}}\) równanie nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązać równanie ze względu na zmienną \(x\) przy założeniu, że parametr \(k\) jest różny od zera \(kx^2+x+k=0\).

Powyższe równanie jest równaniem kwadratowym, ponieważ \(k\) jest różne od zera. Mamy tutaj:

\(a=k, b=1, c=k\)

Obliczamy wyróżnik \(\Delta=b^2-4ac=1-4k^2=-4(k^2-\frac{1}{4})=-4(k-\frac{1}{2})(k+\frac{1}{2})\).

Rozłożyliśmy wyróżnik na czynniki liniowe, aby łatwiej można było badać jego znak.

Możliwe są trzy przypadki. Musimy je wszystkie rozpatrzyć. Wcześniej warto sporządzić szkic wykresu, na podstawie którego można odczytać rozwiązanie. Mamy już miejsca zerowe: \(\frac{1}{2}\) i \(-\frac{1}{2}\), ponieważ \(a=-4<0\), więc ramiona paraboli skierowane są w dół.

• Jeżeli \(\Delta>0\Leftrightarrow{-4(k-\frac{1}{2})(k+\frac{1}{2})>0}\), czyli dla \(k\in(-\frac{1}{2};\frac{1}{2})\) równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste:
  \(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1-\sqrt{1-4k^2}}{2k}\)
  \(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1+\sqrt{1-4k^2}}{2k}\)
• Jeżeli \(\Delta=0\Leftrightarrow{k=-\frac{1}{2}}\quad{lub}\quad{m}=\frac{1}{2}\), równanie ma jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty:
  \(x_0=\frac{-b}{2a}=-\frac{1}{2k}\)
• Jeżeli \(\Delta<0\Leftrightarrow{-4(k-\frac{1}{2})(k+\frac{1}{2})<0}\), czyli dla \(k\in(-\infty;-\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2};+\infty)\) równanie nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.