Równanie ruchu

W przypadku ruchu prostoliniowego możemy tak obrać układ odniesienia, że ciało porusza się wzdłuż osi Ox. Wszystkie rozważania dotyczące wektorów prędkości, położenia i przyspieszenia sprowadzają się do skalarów (wartości liczbowych), a zależności miedzy tymi wielkościami stają się proste i często wykorzystywane w praktycznych zastosowaniach.

Rozpatrujemy tu też ruch jednostajnie zmienny, czyli a=const (jest stałe).

Przyjmujemy, że t₀=0 (mierzymy czas od zerowej sekundy - włączamy stoper w chwili pomiaru ruchu).

Oto równanie ruchu prostoliniowego - zależność położenia od czasu:

$x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$

gdzie:

x - oznacza współrzędną położenia końcowego ciała w chwili t;

x₀ - współrzędna położenia początkowego ciała w chwili t₀=0;

v₀ - prędkość początkowa ciała w chwili t₀=0 (składowa x)

a - przyspieszenie (składowa x)

Oto równanie ruchu prostoliniowego - zależność prędkości od czasu:

gdzie:

v₀ - prędkość początkowa ciała w chwili t₀=0 (składowa x)

a - przyspieszenie (składowa x)

Pamiętając powyższe wzory można rozwiązać wiele zagadnień fizycznych związanych z ruchem prostoliniowych.

Uwaga! W przypadku prędkości oraz przyspieszenia mamy do czynienia tak na prawdę ze składowymi wektorów prędkości i przyspieszenia. Jeżeli zwrot wektora prędkości lub przyspieszenia jest zgodny ze zwrotem osi Ox, to zapisujemy wartości a lub odpowiednio v ze znakiem plus. Jeżeli zwrot wektora prędkości lub przyspieszenia jest przeciwny do zwrotu osi Ox, składowe te zapisujemy ze znakiem minus.

Zapiszemy teraz równania ruchu niezależne od układu odniesienia:

$\vec{r}=\vec{r_0}+\vec{v_0}t+\frac{1}{2}\vec{g}t^2$
$\vec{v}=\vec{v_0}+\vec{g}t$

Powyższe wzory zapisane w postaci wektorowej mają dość ogólną postać i pozwalają na opis ruchu w różnych konfiguracjach układów odniesienia. Jeżeli ruch odbywa się w dwóch albo trzech wymiarach, w takim przypadku ruch taki opisujemy poprzez rozłożenie go na niezależne ruchy w każdym kierunku wyznaczonym przez osie układu odniesienia. Rozwiązanie takie będziemy stosować w przypadku na przykład analizy rzutu poziomego i ukośnego.

A oto inna przydatna zależność:

$s=\frac{v^2-v_0^2}{2a}$

Wyprowadzenie równania ruchu

Sposób I - dla przypadku ruchu jednostajnie przyspieszonego i prostoliniowego.

Wyprowadzimy oba równania ruchu w oparciu o wzory średniego przyspieszenia i średniej prędkości. Pamiętajmy przy tym, że w ruchu prostoliniowym posługujemy się składowymi x wektora prędkości i przyspieszenia (nie operujemy już wtedy na wielkościach wektorowych).

Wartości początkowe oznaczamy z indeksem zero, wartości końcowe poszczególnych wielkości oznaczamy bez indeksów.

Przyjmujemy, że czas mierzymy od chwili t₀=0.

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v-v_0}{t-t_0}=\frac{v-v_0}{t-0}=\frac{v-v_0}{t}$

Przekształcamy powyższy wzór, mnożąc obie strony przez t.

wzór

Otrzymaliśmy równanie ruchu v(t) w ruchu prostoliniowym.

Wyznaczymy teraz równanie ruchu x(t).

W ruchu jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym przyrosty prędkości w kolejnych przyrostach czasu są stałe, możemy więc zapisać, że:

$v_s=\frac{v+v_0}{2}\\ v_s=\frac{x-x_0}{t-t_0}=\frac{x-x_0}{t}\\ \frac{v+v_0}{2}=\frac{x-x_0}{t}$

Dokonujemy podstawienia za i otrzymujemy

wzór

Z kolei zależność

$s=\frac{v^2-v_0^2}{2a}$

otrzymamy, gdy w powyższych rozważaniach wyeliminujemy wielkość t zamiast v.

Sposób 2 - przypadek dowolnego jednostajnie zmiennego ruchu prostoliniowego.

Poziom zaawansowany

Wartości początkowe oznaczamy z indeksem zero, wartości końcowe poszczególnych wielkości oznaczamy bez indeksów.

Przyjmujemy, że czas mierzymy od chwili t₀=0.

Przyjmujemy, że a=const (jest stałe).

$\Delta v=v-v_0=\int\limits_{0}^{t}{adt}=at$

Z kolei:

wzór

$x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$

Inne zagadnienia z tej lekcji

Ruch jednostajny prostoliniowy

Ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy

Ruch jednostajnie opóźniony prostoliniowy