Równanie z dwiema niewiadomymi

Równanie

\(ax+by+c=0\)

gdzie \(a, b, c\) są dowolnymi liczbami i przynajmniej jedna z liczb a lub b jest różna od zera, a \(x, y\) są zmiennymi, nazywamy równaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Przykłady

Przykłady równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi:

\(2x+3y+4=0\)

\(x+y=0\)

\(\frac{x-2y}{3}-\sqrt{5}=-1\)

Definicja

Każdą parę liczb \((m,n)\), która spełnia równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi (to znaczy, która podstawiona do równania \(m\) za \(x\) oraz \(n\) za \(y\) daje równość prawdziwą) nazywamy rozwiązaniem tego równania.

Przykłady

Dane jest równanie: \(x-y+1=0\).

Jest nieskończenie wiele par liczb, które spełniają to równanie. Są to dla przykładu \((1,2), (3,4), (0,1), (-5, -4)\) itd.

Interpretacja geometryczna

Prosta w układzie współrzędnych jest interpretacją geometryczną równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Jest to dość oczywiste. Wystarczy spojrzeć na postać funkcji liniowej, której wykresem jest prosta.

Analizując powyższy przykład równania, wszystkie pary liczb, które stanowią jego rozwiązanie, układają się w układzie współrzędnych na prostej o równaniu: \(y=x+1\).

Przykłady

Rozwiązać równanie: \(\frac{x}{2}-3y+\frac{3}{4}=0\).

Powyższe równanie można rozwiązać graficznie. Przekształćmy je do postaci funkcji liniowej.

\(\frac{x}{2}-3y+\frac{3}{4}=0/\cdot{4}\)

\(2x-12y+3=0\)

\(-12y=-2x-3/:(-12)\)

\(y=\frac{1}{6}x+\frac{1}{4}\)

Rozwiązaniem danego równania jest zbiór wszystkich par liczb \((x,y)\), stanowiących współrzędne punktów prostej o równaniu \(y=\frac{1}{6}x+\frac{1}{4}\).

Poniżej wykres równania.

wykres



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Znaleźć rozwiązanie graficzne równania \(3x+2y=4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Dane jest równanie: \(\sqrt{2}x+2y=1\). Dla jakich wartości parametru a para liczb \((1,a)\) spełnia to równanie?

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2009-07-02, A-256
Data aktualizacji artykułu: 2023-05-06



Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.