Równoważność

Równoważność zdań p i q jest to zdanie orzekające, że zdania p i q mają tę samą wartość logiczną. Równoważność zdań p i q wypowiadamy w następujący sposób: p wtedy i tylko wtedy gdy q, a zapisujemy pq.

Równoważność zdań p i q można zapisać w poniższej tabeli dla wszystkich przypadków:

pqpq
001
010
100
111

Zdania równoważne są to więc zdania mające tę samą wartość logiczną.

Mówiąc inaczej zdanie równoważne to takie zdanie, którego człony mają taką samą wartość logiczną.

Przykłady

A oto przykłady równoważności zdań. Szczególnie ciekawy wydaje się ostatni z przykładów.

  • x-1=0\Leftright x=1.
  • Zmienna x jest liczbą pierwszą i mniejszą od 6 i większą od 3 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 5.
  • Mleko jest białe wtedy i tylko wtedy, gdy 1+1 = 3 (jest to zdanie fałszywe).
  • Pójdę na spacer wtedy i tylko wtedy, gdy przestanie padać deszcz, tzn. „jeżeli przestanie padać, to pójdę na spacer” oraz „jeżeli pójdę na spacer, to przestanie padać”.
  • (10<100) ⇔ (100<1000).
  • W słowie „równoważność” jest 5 liter wtedy i tylko wtedy, gdy w tym słowie występuje tylko jedna samogłoska. Jest to zdanie prawdziwe, gdyż oba zdania składowe są fałszywe!
  • Zdanie pq jest prawdziwe, wtedy i tylko wtedy gdy p i q są jednocześnie prawdziwe lub p i q są jednocześnie fałszywe.

Równoważność zdań pq oznacza koniunkcję dwóch implikacji wzajemnie odwrotnych, czyli:

(pq) ⇔ (pq) ∧ (qp).

Zaprzeczenie równoważności

Zaprzeczenie równoważności możemy zapisać w następujący sposób:

~ (pq) ⇔ ~ [(pq) ∧ (qp)]

Skorzystamy z prawa de Morgana (zaprzeczenie koniunkcji):

~ (pq) ⇔ ~ [(pq) ∧ (qp)] ⇔ [~ (pq)] ∨ [~ (qp)] ⇔ (p~ q) ∨ (q~ p)

Ostatni krok wymaga wyjaśnienia:

Negacja implikacji ~ (pq) jest równoważna ~ (~ p q). Negacja alternatywy zgodnie z prawem de Morgana jest równoważna zapisowi ~ (~ p q) ⇔ p~ q.

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Określ wartość logiczną zdań:

A. \((\pi \in \mathbb{R} ) \Leftrightarrow (2<6)\)

B. \((3<1) \Leftrightarrow (2<6)\)

C. \((3<1) \Leftrightarrow (6<2)\)

D. \((1-1=0) \Leftrightarrow (1+1=0)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.



Powiązane quizy

Logika — quiz

Liczba pytań: 22
Quiz szkolny
Średni wynik:
13.13 pkt / 59.68%
2024-02-16




Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2008-05-29, A-44
Data aktualizacji artykułu: 2023-02-08



Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.