Równoważność
Równoważność zdań p i q można zapisać w poniższej tabeli dla wszystkich przypadków:
p | q | p ⇔ q |
---|---|---|
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
Zdania równoważne są to więc zdania mające tę samą wartość logiczną.
Mówiąc inaczej zdanie równoważne to takie zdanie, którego człony mają taką samą wartość logiczną.
Przykłady
A oto przykłady równoważności zdań. Szczególnie ciekawy wydaje się ostatni z przykładów.
- .
- Zmienna x jest liczbą pierwszą i mniejszą od 6 i większą od 3 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 5.
- Mleko jest białe wtedy i tylko wtedy, gdy 1+1 = 3 (jest to zdanie fałszywe).
- Pójdę na spacer wtedy i tylko wtedy, gdy przestanie padać deszcz, tzn. „jeżeli przestanie padać, to pójdę na spacer” oraz „jeżeli pójdę na spacer, to przestanie padać”.
- (10<100) ⇔ (100<1000).
- W słowie „równoważność” jest 5 liter wtedy i tylko wtedy, gdy w tym słowie występuje tylko jedna samogłoska. Jest to zdanie prawdziwe, gdyż oba zdania składowe są fałszywe!
- Zdanie p ⇔ q jest prawdziwe, wtedy i tylko wtedy gdy p i q są jednocześnie prawdziwe lub p i q są jednocześnie fałszywe.
Równoważność zdań p ⇔ q oznacza koniunkcję dwóch implikacji wzajemnie odwrotnych, czyli:
(p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
Zaprzeczenie równoważności
Zaprzeczenie równoważności możemy zapisać w następujący sposób:
~ (p ⇔ q) ⇔ ~ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]
Skorzystamy z prawa de Morgana (zaprzeczenie koniunkcji):
~ (p ⇔ q) ⇔ ~ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] ⇔ [~ (p ⇒ q)] ∨ [~ (q ⇒ p)] ⇔ (p ⇒ ~ q) ∨ (q ⇒ ~ p)
Ostatni krok wymaga wyjaśnienia:
Negacja implikacji ~ (p ⇒ q) jest równoważna ~ (~ p ∨ q). Negacja alternatywy zgodnie z prawem de Morgana jest równoważna zapisowi ~ (~ p ∨ q) ⇔ p ∧ ~ q.
Ćwiczenia
Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Określ wartość logiczną zdań:
A. \((\pi \in \mathbb{R} ) \Leftrightarrow (2<6)\)
B. \((3<1) \Leftrightarrow (2<6)\)
C. \((3<1) \Leftrightarrow (6<2)\)
D. \((1-1=0) \Leftrightarrow (1+1=0)\)
Powiązane quizy
Inne zagadnienia z tej lekcji
© medianauka.pl, 2008-05-29, A-44
Data aktualizacji artykułu: 2023-02-08