Rozkład wielomianu na czynniki

Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynowej.

Metody rozkładu wielomianu na czynniki

Stosujemy kilka metod rozkładu wielomianu na czynniki:

wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias,
grupowanie wyrazów,
stosowanie wzorów skróconego mnożenia,
stosowanie twierdzenia Bezout dla wielomianów stopnia wyższego niż 2 lub, w przypadku wielomianu drugiego stopnia, zastosowanie postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego.

Omówimy powyższe sposoby działania.

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Korzystając z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania, w przypadku gdy w każdym wyrazie wielomianu występuje ten sam jednomian jako czynnik, możemy go wyłączyć przed nawias.

Przykłady

\(x^4-x^3=x^3(x-1)\)
\(2x^5-10=2(x^5-5)\)
\(2x^4-4x^2+6x=2x(x^2-2x+3)\)

Grupowanie wyrazów

Ta metoda wymaga wprawy rachunkowej. Polega na kilkukrotnym korzystaniu z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania według schematu:

\(ac+ad+bc+bd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)\)

Przykłady

\(x^5+x^3+x^2+1=x^3(x^2+1)+(x^2+1)=(x^2+1)(x^3+1)\)

Stosowanie wzorów skróconego mnożenia

To zastosowanie wydaje się oczywiste. Oto kilka przykładów:

Przykłady

\(4x^2-4x+1=(2x)^2-2\cdot{2x+1}=(2x-1)^2\)
\(x^4-1=(x^2)^2-1^2=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)\)
\(x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)\)

Stosowanie twierdzenia Bezouta

Przeanalizujmy ten przypadek na przykładzie.

Przykłady

Rozłożyć na czynniki wielomian

\(W(x)=x^4+2x^3-7x^2-8x+12\).

Szukamy pierwiastków wielomianu pośród dzielników wyrazu wolnego 12, czyli pośród liczb 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4 i -4. wielomian jest stopnia czwartego, szukamy więc maksymalnie czterech pierwiastków.

\(W(1)=1+2-7-8+12=0\)

\(W(-1)=1-2-7+8+12=12\neq{0}\)

\(W(2)=16+16-28-16+12=0\)

\(W(-2)=16-16-28+16+12=0\)

\(W(3)=81+54-63-24+12=60\neq{0}\)

\(W(-3)=81-54-63+24+12=0\)

Zatem

\(W(x)=x^4+2x^3-7x^2-8x+12=(x-1)(x-2)(x+2)(x+3)\)

Krotność pierwiastka wielomianu

Do wyznaczenia krotności pierwiastków wielomianu należy rozłożyć ten wielomian na iloczyn czynników.

Krotność pierwiastka wielomianu jest to potęga nawiasu, który zeruje dany pierwiastek.

Przykład

Dany jest wielomian \(W(x)=x^5(x+1)^3(x-2)^2(x+10)\).

W tym wielomianie:

\(x_1=0\) jest 5-krotnym pierwiastkiem,
\(x_2=-1\) jest 3-krotnym pierwiastkiem,
\(x_3=2\) jest 2-krotnym pierwiastkiem,
\(x_4=-10\) jest 1-krotnym pierwiastkiem.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Rozłożyć na czynniki wielomian:

a) \(W(x)=2x^6-50x^4\)

b) \(W(x)=x^8-1\)

c) \(W(x)=x^3-\sqrt{2}x^2+\sqrt{2}x-2\)

d) \(W(x)=x^3-11x^2+35x-25\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozłożyć wielomian:

a) \(W(x)=2x^5-2x^3-4x^2+4\)

b) \(W(x)=-x^3+x^2+x-1\)

na czynniki metodą grupowania wyrazów.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozłożyć wielomian \(W(x)=8x^4-2x^3-33x^2+8x+4\) na czynniki.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu \(W(x)=x^3+ax^2+bx+c\) jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej \(3\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\). Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Wielomian \(W(x)=x^4+81\) jest podzielny przez

A. \(x-3\)

B. \(x^2+9\)

C. \(x^2-3\sqrt{2}x+9\)

D. \(x^2+3\sqrt{2}x-9\)

Pokaż rozwiązanie zadania.