Rozwiązywanie równań

Metoda równań równoważnych

Metoda równań równoważnych polega na przekształcaniu równania w taki sposób, aby każde kolejne było równoważne danemu i łatwiejsze do rozwiązania.

Możemy korzystać z następujących twierdzeń:

Twierdzenie

Dla każdego \(c\) prawdziwa jest równoważność: \(a=b\Leftrightarrow{a+c=b+c}\).

Z powyższego twierdzenia wynika, że do obu stron równania możemy dodać dowolną liczbę lub całe wyrażenie i otrzymamy równanie równoważne.Jeżeli od każdej ze stron równania odejmujemy liczbę, to korzystamy wówczas z tego samego twierdzenia (dodajemy liczbę przeciwną do obu stron równania).

Przykłady

Dane jest równanie: \(x+3=x^2-2\).

Jeżeli do obu stron równania dodamy liczbę 2, to otrzymamy:

\(x+3+2=x^2\)

\(x+5=x^2\)

Otrzymaliśmy równanie równoważne.

Wygląda tak, jakbyśmy liczbę 2 z prawej strony równania przenieśli ze znakiem przeciwnym na lewą stronę równania.

Zamiast mówić, że do obu stron dodajemy wyrażenie lub liczbę, mówimy, że przenosimy je na drugą stronę równania ze znakiem „minus”. Przenosić możemy liczby, niewiadomą i całe wyrażenia.

Przykład

Rozwiązać równanie: \(3x-3=2x-1\).

Do obu stron równania dodajemy liczbę \(3\) (lub łatwiej powiedzieć: przenosimy liczbę \(3\) na drugą stronę):

\(3x=2x-1+3\)

\(3x=2x+2\)

Do obu stron równania dodajemy \(-2x\) (lub łatwiej powiedzieć: przenosimy \(2x\) na drugą stronę):

\(3x-2x=2\)

\(x=2\)

Otrzymaliśmy rozwiązanie: \(x=2\).

Dobrym zwyczajem jest dokonanie sprawdzenia poprawności wyniku.

Wystarczy za niewiadomą \(x\) do równania wyjściowego podstawić wynik.

Sprawdzenie:

\(3\cdot 2-3=2\cdot 2-1\)

\(3=3\)

Otrzymaliśmy zdanie prawdziwe, zatem rozwiązanie jest prawidłowe.

Twierdzenie

Dla każdego \(c\neq{0}\) prawdziwa jest równoważność: \(a=b\Leftrightarrow{a}\cdot{c=b}\cdot{c}\)

Z powyższego twierdzenia wynika, że obie strony równania możemy pomnożyć (a więc i podzielić, czyli pomnożyć przez odwrotność tej liczby) przez dowolną liczbę różną od zera lub całe wyrażenie, które nie przyjmuje wartości zero i otrzymamy wówczas równanie równoważne.

Aby śledzić tok rachunków, działanie takie zwykle zapisujemy za równaniem po ukośniku.