Równanie liniowe

Oto przykłady równań liniowych z jedną niewiadomą:

• \(5x+1=0\) (\(a=5\) i \(b=1\));
• \(-x=0\) (\(a=-1\) i \(b=0\));
• \(\frac{x}{2}+\sqrt{7}=0\) (\(a=\frac{1}{2}\) i \(b=\sqrt{7}\));
• \(2x=5\) (\(a=2\) i \(b=-5\));
• \(-6-x=0\) (\(a=-1\) i \(b=-6\));
• \((\frac{1}{7}-\sqrt{5})x-1+\sqrt{3}=0\).

Rozwiązać równanie \(2x-4=0\)>.

Rozwiązanie:

\(2x-4=0\)

\(2x=4/:2\)

\(x=2\)

Zgodnie z interpretacją geometryczną pierwiastka równania wykres funkcji \(y=2x-4\), powinien przecinać oś \(OX\) w punkcie \(x_0=2\). Ilustruje to poniższy rysunek.

Rozwiązać równanie: \(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}=0\).

Rozwiązanie:

\(-\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}=0\)

\(-\frac{1}{2}x=\frac{1}{3}/\cdot{(-2)}\)

\(x=-\frac{2}{3}\)

Odpowiedź: \(x=-\frac{2}{3}\).

Równanie \(mx-2x=1\) jest przykładem równania z parametrem, o ile jest informacja, że \(x\) lub \(m\) jest niewiadomą. Równanie to można rozwiązać ze względu na \(x\), wówczas \(m\) traktujemy jak liczbę rzeczywistą, możemy też rozwiązać to równanie ze względu na \(m\), a \(x\) traktować jako parametr.

1) Rozwiążemy to równanie ze względu na \(x\).

\(mx-2x=1\)

\(x(m-2)=1\)

Teraz mogą wystąpić różne przypadki.

Jeżeli \(m-2\neq{0}\Leftrightarrow{m\neq{2}}\), możemy dokonać przekształcenia:

\(x(m-2)=1/:(m-2)\)

\(x=\frac{1}{m-2}\)

Jeżeli \(m-2=0\Leftrightarrow{m=2}\), mamy do czynienia z równaniem sprzecznym:

\(x\cdot{0=1}\)

\(0=1\)

Równanie ma jedno rozwiązanie \(x_0=\frac{1}{m-2}\) dla \(m\neq{2}\) oraz nie ma rozwiązań w przypadku, gdy \(m=2\).

2) Rozwiążemy to równanie ze względu na \(m\). Zatem \(x\) traktujemy jak zwykłą liczbę.

\(mx-2x=1\)

\(mx=1+2x\)

Dla \(x\) różnego od zera mamy jedno rozwiązanie \(m_0=\frac{1+2x}{x}\), natomiast dla \(x=0\) równanie nie ma rozwiązania (jest sprzeczne).

Przykład takiego równania z parametrami \(a\) i \(b\) jest w rzeczywistości łatwy do rozwiązania:

\(\sqrt{a^2+1}+\frac{x}{2}-b^4=\log_2{a-b}\)

\({\frac{1}{2}x=\log_2{a-b}-\sqrt{a^2+1}+b^4/\cdot{2}}\)

\({x=2\log_2{a-b}-2\sqrt{a^2+1}+2b^4}\)

Jeśli dodamy do siebie wiek Janka, który jest o rok starszy od Krzysia do wieku Krzysia, to otrzymamy liczbę 15. W jakim wieku są chłopcy?

Oznaczamy i opisujemy niewiadome:
\(x\) — wiek Janka,
\(x-1\) — wiek Krzysia (Krzyś jest młodszy o rok).

Zapisujemy wypowiedziane w treści zdanie logiczne (suma lat chłopców jest równa 15).

\(x+(x-1)=15\)

\(2x-1=15\)

\(2x=16/:2\)

\(x=8\)

\(x-1=7\)

Odpowiedź: Janek ma 8 lat, a Krzyś 7.

Jaką kwotę musi Janek przelać na lokatę o oprocentowaniu 5% w skali roku, aby po roku stać go było na zakup roweru, który kosztuje 1200 zł?

\(x\) - kwota kapitału.

Układamy równanie: kwota kapitału i kwota odsetek po roku musi być równa 1200 zł.

\(x+x\cdot 5\%=1200\)

\(x+\frac{5}{100}x=1200\)

\(\frac{105}{100}x=1200/\cdot{\frac{100}{105}}\)

\(x=\frac{120000}{105}\)

\(x\approx{1142,86}\)

Odpowiedź: Aby Janek mógł kupić rower za 1200 zł, musi włożyć na roczną lokatę o oprocentowaniu 5% kwotę 1142,86 zł.