Metoda wyznaczników

Jedną z metod rozwiązywania układów równań jest metoda wyznaczników. Metoda ta należy do najefektywniejszych metod rozwiązywania układów równań, szczególnie tych z parametrem. Zanim jednak zostanie omówiona ta metoda, należy zapoznać się z pojęciem wyznacznika.

Definicja

Różnicę iloczynów \(ad-bc\) nazywamy wyznacznikiem drugiego stopnia i oznaczamy go w następujący sposób: \(W=\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|\)

Liczby w wyznaczniku mnożymy „na krzyż”.

Przykłady

\(W=\left|\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right|=1\cdot{4}-2\cdot{3}=4-6=-2\)

\(W=\left|\begin{array}{cc}5&-2\\4&3\end{array}\right|=5\cdot{3}-(-2\cdot{4})=15+8=23\)

\(W=\left|\begin{array}{cc}0&4\\0&3\end{array}\right|=0\cdot{3}-4\cdot{0}=0-0=0\)

Wyznacznik układu

Dany jest układ równań:

\(\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\)

Wyznacznik układu jest to:

\(W=\left|\begin{array}{cc}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{array}\right|\)

Zapisujemy więc w wyznaczniku kolejno wszystkie liczby przy niewiadomych w odpowiedniej kolejności.

Wyznacznik ze względu na \(x\) jest to:

\(W_x=\left|\begin{array}{cc}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{array}\right|\)

Zastępujemy więc w wyznaczniku układu liczby stojące przy niewiadomej \(x\) wyrazami wolnymi \(c\).

Wyznacznik ze względu na \(y\) jest to:

\(W_y=\left|\begin{array}{cc}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{array}\right|\)

Zastępujemy więc w wyznaczniku układu liczby stojące przy niewiadomej \(y\) wyrazami wolnymi \(c\).

Znając wyznaczniki układu, możemy łatwo określić jego rozwiązanie. Możliwe są trzy przypadki:

1) Jeżeli \(W\neq{0}\), to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie:

\(x=\frac{W_x}{W},\quad{y}=\frac{W_y}{W}\)

2) Jeżeli \(W=W_x=W_y=0\), to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, równania układu są od siebie zależne.

3) Jeżeli \(W=0\quad{i}\quad{W_x}\neq{0}\) lub \(W=0\quad{i}\quad{W_y}\neq{0}\) to układ równań nie ma rozwiązań, jest to układ równań wzajemnie sprzecznych.

Przykłady

Rozwiązać układ równań metodą wyznaczników:

\(\begin{cases}5x+4y-1=0\\-y-3=-x\end{cases}\)

W pierwszej kolejności należy uporządkować wyrazy. Wyrazy wolne przenosimy na prawą stronę równań, niewiadome w odpowiedniej kolejności na lewą stronę równań.

\(\begin{cases}5x+4y=1\\x-y=3\end{cases}\)

Obliczamy wyznacznik układu:

\(W=\left|\begin{array}{cc}5&4\\1&-1\end{array}\right|=5\cdot(-1)-4\cdot{1}=-5-4=-9\)

Wyznacznik układu jest różny od zera, więc układ posiada jedno rozwiązanie. Aby je znaleźć, musimy obliczyć wyznacznik ze względu na \(x\), zastępując współczynniki przy tej niewiadomej wyrazami wolnymi:

\(W_x=\left|\begin{array}{cc}1&4\\3&-1\end{array}\right|=1\cdot(-1)-4\cdot{3}=-1-12=-13\)

oraz obliczamy wyznacznik ze względu na \(y\), zastępując w wyznaczniku współczynniki stojące przy \(y\) wyrazami wolnymi:

\(W=\left|\begin{array}{cc}5&1\\1&3\end{array}\right|=5\cdot{3}-1\cdot{1}=15-1=14\)

Mamy więc rozwiązanie:

\(x=\frac{W_x}{W}=\frac{-13}{-9}=1\frac{4}{9}\)

\(y=\frac{W_y}{W}=\frac{14}{-9}=-1\frac{5}{9}\)

Kalkulator układów równań

Kalkulator
Rozwiązywanie układów równań metodą wyznacznikową

Nasz robot spróbuje rozwiązać układ równań liniowych za pomocą wyznaczników.

Układ dwóch równań pierwszego stopnia ma postać:

\(\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\)

Jeżeli twój układ nie ma takiej postaci, w pierwszej kolejności doprowadź go do niej, porządkując wyrazy przy niewiadomych i wyrazy wolne. Aby rozwiązać układ równań, podaj współczynniki \(a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2\):

Wpisz dane:

\begin{cases} \LARGE \\\ \LARGE \end{cases} x+ y =
x+ y =



Rozwiązujemy układ równań:

Wykaz wszystkich kalkulatorów

Układy równań z parametrem

Metoda wyznaczników sprawdza się wyjątkowo dobrze w przypadku układów równań z parametrem. Oto przykład takiego zadania.

Przykłady

Dla jakiej wartości parametru \(m\), układ równań

\(\begin{cases}(m-1)x+4y=0\\x-2y=m+2\end{cases}\)

ma jedno rozwiązanie?

Obliczamy wyznacznik układu:

\(W=\left|\begin{array}{cc}m-1&4\\1&-2\end{array}\right|=(m-1)\cdot(-2)-4\cdot{1}=-2m+2-4=-2m-2\)

Aby układ równań miał jedno rozwiązanie, wyznacznik układu musi być różny od zera, więc

\(-2m-2\neq{0}\)

\(-2m\neq{2}/:(-2)\)

\(m\neq{-1}\)

Dla \(m\) różnego od -1 układ równań ma jedno rozwiązanie.

Znajdźmy to rozwiązanie. Musimy obliczyć wyznacznik ze względu na \(x\), zastępując wyrazami wolnymi współczynniki przy tej niewiadomej:

\(W_x=\left|\begin{array}{cc}0&4\\m+2&-2\end{array}\right|=0-4(m+2)=-4m-8\)

oraz obliczamy wyznacznik ze względu na \(y\), zastępując w wyznaczniku współczynniki stojące przy \(y\) wyrazami wolnymi:

\(W=\left|\begin{array}{cc}m-1&0\\1&m+2\end{array}\right|=(m-1)(m+2)-0\cdot{1}=m^2+m-2\)

Mamy więc rozwiązanie:

\(x=\frac{W_x}{W}=\frac{-4m-8}{-2m-2}=\frac{-2(2m+4)}{-2(m+1)}=\frac{2m+4}{m+1}\)

\(y=\frac{W_y}{W}=\frac{m^2+m-2}{-2m-2}\)



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Dla jakiej wartości parametru \(a\) układ równań

\(\begin{cases} (a+1)x-3y+a=0 \\ ax+y+a+1=0 \end{cases}\)

nie ma rozwiązania?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Dla jakiej wartości parametrów \(a, b, c\) układ równań

\(\begin{cases} (a+1)x-y=b \\ 2ax+y=c \end{cases}\)

ma nieskończenie wiele rozwiązań?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Dla jakiej wartości parametru \(a\) układ równań

\(\begin{cases} (a-2)x+y=-3a+1 \\ -4x+(a+4)y=a-1 \end{cases}\)

ma jedno rozwiązanie?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4.

Rozwiązać układ równań

\(\begin{cases} \sqrt{2}x-(\sqrt{2}-1)y=3-2\sqrt{2} \\ (2+\sqrt{2})x+\sqrt{2}y=-2 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5.

Rozwiązać układ równań

\(\begin{cases} \frac{x-y}{2}=x+2 \\ y-x=\frac{x+1}{3} \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2009-07-12, A-264
Data aktualizacji artykułu: 2023-05-04



Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.