Schemat Bernoulliego

Przykłady prób Bernoulliego:

• Rzut monetą: sukces — wyrzucenie orła, porażka — wyrzucenie reszki.
• Rzut kością: sukces — wyrzucenie sześciu oczek, porażka — niewyrzucenie sześciu oczek.
• Losowanie sztuk towaru ze zwracaniem: sukces — wylosowano dobry produkt, porażka — wylosowano wadliwy produkt.
• Obserwacja płci noworodków: sukces — płeć żeńska, porażka — płeć męska.

Nazwanie danego zdarzenia sukcesem lub porażką jest kwestią umowną, zależną od warunku zadania.

Nie każde doświadczenie jest próbą Bernoulliego. Dla przykładu losowanie bez zwracania na przykład kuli z urny nie można uznać za próbę Bernoulliego, gdyż prawdopodobieństwo sukcesu w każdym losowaniu jest tutaj inne.

Przykłady schematów Bernoulliego:

• \(n\)-krotne strzelanie do celu.
• \(n\)-krotny rzut kostką do gry.
• \(n\)-krotny dwukrotny rzut monetą.

Prawdopodobieństwo trafienia strzałą w balonik wynosi \(\frac{1}{3}\). Do celu oddano 10 strzałów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafiono:

a) 2 razy.
b) Co najmniej raz.
c) Co najwyżej raz.

Przez sukces rozumiemy trafienie do celu w pojedynczym strzale. Mamy więc: \(p=\frac{1}{3},\ q=\frac{2}{3}\), natomiast \(S_{10}\) oznacza liczbę celnych strzałów spośród 10 strzałów. Mamy więc:

a) \(P(S_{10}=2)={10\choose 2}(\frac{1}{3})^2\cdot (\frac{2}{3})^8=\)

\(=\frac{10!}{2!8!}\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{2^8}{3^8}=\)

\(=\frac{8!\cdot 9\cdot 10}{2\cdot 8!}\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{2^8}{3^8}=5\cdot \frac{256}{6561} \approx 0,195\)

b) Przy obliczaniu prawdopodobieństwa trafienia co najmniej raz, skorzystamy z własności ogólnej prawdopodobieństwa, że prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe różnicy liczby \(1\) i prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego do \(A\):

\(P(S_{10}\geq 1)=1-P(S_{10}\leq 1)=1-P(S_{10}=0)=\)

\(=1-{10\choose 0}(\frac{1}{3})^0\cdot (\frac{2}{3})^{10}=\)

\(=1-\frac{10!}{0!10!}\cdot 1 \cdot \frac{2^{10}}{3^{10}}=1- \frac{1024}{59049} \approx 0,98\)

c) Trafienie co najwyżej raz oznacza trafienie raz lub zero razy.

\(P(S_{10}\leq 1)=P(S_{10}=0)+P(S_{10}=1) =\frac{1024}{59049}+{10\choose 1}(\frac{1}{3})^1\cdot (\frac{2}{3})^9=\)

\( =\frac{1024}{59049}+\frac{10!}{1!9!}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2^9}{3^9}=\)

\(=\frac{1024}{59049}+\frac{5120}{59049}=\frac{6144}{59049}\approx 0,1\)