Silnia

Silnia, oznaczana symbolem wykrzyknika, jest zdefiniowana w następujący sposób:

\(0!=1\)

\(1!=1\)

\(n!=1\cdot{2}\cdot{3}\cdot ... \cdot{n}\quad{dla}\quad{n}\geq{2}\)

Przykłady

\(2!=1\cdot{2}=2\)
\(10!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot = 3628800\)
\(\frac{1}{5!}=\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}=\frac{1}{120}\)
\(\frac{6!}{5!}=\frac{5!\cdot 6}{5!}=6\)
\((n+1)!=1\cdot 2\cdot ... \cdot (n-1)\cdot n \cdot (n+1)\)

Silni używamy w kombinatoryce i analizie matematycznej.

Wzory

Wprost z definicji można napisać następujący wzór, przydatny podczas obliczania silni:

\((n+1)!=n!(n+1)\)

A oto przykład zastosowania powyższego wzoru.

Przykłady

\(\frac{11!}{9!}=\frac{9!\cdot 10 \cdot 11}{9!}=\cdot 10 \cdot 11\)

Pytania

Jak obliczyć silnię w Excelu?

Aby obliczyć wartość silni w programie Excel, należy użyć funkcji SILNIA. Na przykład, jeżeli chcemy obliczyć wartość 10!, to w dowolnej komórce arkusza kalkulacyjnego wystarczy wpisać formułę =SILNIA(10) i nacisnąć klawisz ENTER. W Excelu dostępna jest także funkcja SILNIA.DWUKR, która zwraca dwukrotną silnię danej liczby.

Jaki jest algorytm wyznaczania silni?

W JavaScript, czy C++ wystarczy użyć pętli:

liczba = 5;
silnia = 1;
for ($i = 1; $i< = $n; $i++) {silnia = silnia*i;}

Wynik jest przechowywany w zmiennej silnia i jest wyliczony dla wartości 5 (możesz ją zmienić). Powyższy kod można obudować funkcją, należy także dodać sprawdzanie, czy liczba jest liczbą naturalną. W php powyższy kod uzupełnimy o wyświetlenie wyniku:

$liczba=5;
$silnia=1;
for ($i = 1; $i< = $liczba; $i++) {$silnia *= i;}
print $silnia;

Tablice

Poniższa tablica z powodzeniem zastępuje kalkulator. Poniżej wyniki silni dla pierwszych 50 liczb naturalnych.

0!	= 1
1!	= 1
2!	= 2
3!	= 6
4!	= 24
5!	= 120
6!	= 720
7!	= 5040
8!	= 40320
9!	= 362880
10!	= 3628800
11!	= 39916800
12!	= 479001600
13!	= 6227020800
14!	= 87178291200
15!	= 1307674368000
16!	= 20922789888000
17!	= 355687428096000
18!	= 6402373705728000
19!	= 121645100408832000
20!	= 2432902008176640000
21!	= 51090942171709440000
22!	= 1124000727777607680000
23!	= 25852016738884976640000
24!	= 620448401733239439360000
25!	= 15511210043330985984000000
26!	= 403291461126605635584000000
27!	= 10888869450418352160768000000
28!	= 304888344611713860501504000000
29!	= 8841761993739701954543616000000
30!	= 265252859812191058636308480000000
31!	= 8222838654177922817725562880000000
32!	= 263130836933693530167218012160000000
33!	= 8683317618811886495518194401280000000
34!	= 295232799039604140847618609643520000000
35!	= 10333147966386144929666651337523200000000
36!	= 371993326789901217467999448150835200000000
37!	= 13763753091226345046315979581580902400000000
38!	= 523022617466601111760007224100074291200000000
39!	= 20397882081197443358640281739902897356800000000
40!	= 815915283247897734345611269596115894272000000000
41!	= 33452526613163807108170062053440751665152000000000
42!	= 1405006117752879898543142606244511569936384000000000
43!	= 60415263063373835637355132068513997507264512000000000
44!	= 2658271574788448768043625811014615890319638528000000000
45!	= 119622220865480194561963161495657715064383733760000000000
46!	= 5502622159812088949850305428800254892961651752960000000000
47!	= 258623241511168180642964355153611979969197632389120000000000
48!	= 12413915592536072670862289047373375038521486354677760000000000
49!	= 608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000
50!	= 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

Ćwiczenia

Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.

ĆWICZENIA

Silnia

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Obliczyć:

1) \(\frac{103!}{100!}\)

2) \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Symbol Newtona

Silnia i symbol Newtona