Szereg geometryczny

Dane jest koło o promieniu \(r\). Rozcinamy je na dwie części o równych polach \(p\), a następnie jedną z tych części znów na połowę itd.

Pole koła wyraża się wzorem \(p=\pi{r^2}\). Każda z części ma pole o połowę mniejszą niż większa część. Obliczmy więc pola poszczególnych części figury.

\(p_1=\frac{\pi r^2}{2}\)

\(p_2=\frac{\pi r^2}{4}=p_1\cdot \frac{1}{2}\)

\(p_3=\frac{\pi r^2}{8}=p_2\cdot \frac{1}{2}\)

\(p_4=\frac{\pi r^2}{16}=p_3\cdot \frac{1}{2}\)

\(...\)

\(p_n=\frac{\pi r^2}{2^n}=p_{(n-1)}\cdot \frac{1}{2}\)

\(...\)

Pola kolejnych figur tworzą ciąg geometryczny \((p_n)\) o ilorazie \(q=\frac{1}{2}\).

Utworzymy teraz szereg geometryczny. Dodajemy do siebie kolejne pola, tworząc sumy pośrednie:

\(s_1=p_1=\frac{\pi r^2}{2}\)

\(s_2=p_1+p_2=\frac{\pi r^2}{2}+\frac{\pi r^2}{4}=\frac{3\pi r^2}{4}\)

\(s_3=p_1+p_2+p_3=\frac{\pi r^2}{2}+\frac{\pi r^2}{4}+\frac{\pi r^2}{8}=\frac{7\pi r^2}{8}\)

\(s_4=p_1+p_2+p_3+p_4=\frac{\pi r^2}{2}+\frac{\pi r^2}{4}+\frac{\pi r^2}{8}+\frac{\pi r^2}{16}=\frac{15\pi r^2}{16}\)

\(...\)

\(s_n=p_1+p_2+p_3+...+p_n=\frac{\pi r^2}{2}+\frac{\pi r^2}{4}+\frac{\pi r^2}{8}+...+\frac{\pi r^2}{2^n}=\pi r^2[1-(\frac{1}{2})^n]\)

\(...\)

Jak obliczyliśmy \(s_n\)? Skorzystaliśmy ze wzoru na sumę \(n\) wyrazów ciągu geometrycznego.

\(s_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{\pi{r^2}}{2}\cdot{\frac{1-(\frac{1}{2})^n}{1-\frac{1}{2}}}=\pi{r^2}[1-(\frac{1}{2})^n]\)

W taki oto sposób utworzyliśmy ciąg geometryczny.

Warto jeszcze zwrócić uwagę na to, że kolejne wyrazy ciągu geometrycznego coraz bardziej zbliżają się do wartości pola koła. Możemy to nawet policzyć, obliczając odpowiednią granicę:

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}[\pi{r^2}[1-(\frac{1}{2})^n]]=\lim_{n\to\infty}(\pi{r^2}-\pi{r^2}\frac{1}{2^n})=\pi{r^2}-0=\pi{r^2}\)

W środku koła o promieniu \(r\) rysujemy koło o promieniu o połowę krótszym. W środku tego małego koła rysujemy koło również o promieniu o połowę krótszym i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich kół.
Na podstawie warunków zadania sporządzamy rysunek. Mamy do czynienia z nieskończoną liczbą kół, a naszym zadaniem jest obliczyć pole wszystkich tych figur.
Wypiszmy pola poszczególnych figur:

\(p_1=\pi{r^2}\)

\(p_2=\pi{(\frac{r}{2})^2}=\pi{r^2}\cdot{\frac{1}{4}}\)

\(p_3=\pi{(\frac{r}{4})^2}=\pi{r^2}\cdot{(\frac{1}{4})^2}\)

\(p_4=\pi(\frac{r}{8})^2=\pi{r^2}\cdot(\frac{1}{4})^3\)

\(...\)

\(p_n=\pi{r^2}\cdot(\frac{1}{4})^{(n-1)}\)

Zatem pole wszystkich kół jest równe \(P=p_1+p_2+p_3+...\). Mamy więc do czynienia z szeregiem geometrycznym, wartość \(a_1=\pi{r^2}\), iloraz \(q=\frac{1}{4}\), a więc spełniony jest warunek zbieżności szeregu geometrycznego. Możemy obliczyć sumę, a więc pole wszystkich figur:

\(P=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\pi{r^2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}\pi{r^2}\)

Zamienić liczbę \(0,(7)\) na ułamek zwykły.

Zauważamy, że:

\(0,(7)=0,777...= 0,7+0,07+0,007+0,0007+... = 0,7+0,7\cdot 0,1+0,7\cdot (0,1)^2+0,7\cdot (0,1)^3+...\)

Otrzymaliśmy więc szereg geometryczny o ilorazie \(q=0,1\) i \(a_1=0,7\). Sumując wszystkie wyrazy szeregu, otrzymujemy:

\(S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,7}{1-0,1}=\frac{\frac{7}{10}}{\frac{9}{10}}=\frac{7}{9}\)