Dodawanie wektorów
Wektory podlegają podobnym działaniom jak skalary, jednak zasady dodawania i odejmowania wektorów zasadniczo różnią się od sposobu dodawania i odejmowania liczb.
Warto poznać różne metody działań na wektorach, zarówno graficzne, jak i algebraiczne. Zostaną one opisane w kolejnych częściach lekcji.
Poznasz więc metodę trójkąta, metodę graficzną dodawania wektorów, dodawanie i odejmowanie wektorów równoległych. W niniejszej lekcji zostały również omówione działania na współrzędnych wektorów.
Suma wektorów metodą trójkąta
Metoda trójkąta jest to geometryczna metoda dodawania wektorów.
- Za pomocą przesunięcia równoległego przesuwamy wektor \(\vec{b}\) tak, aby początek wektora \(\vec{b}\) znalazł się w końcu wektora \(\vec{a}\).
- Sumę wektorów \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) otrzymujemy łącząc początek wektora \(\vec{a}\) z końcem wektora \(\vec{b}\)
Dodawanie wektorów metodą równoległoboku
Metoda równoległoboku jest to również geometryczna metoda dodawania wektorów.
- Za pomocą przesunięcia równoległego przesuwamy wektor \(\vec{b}\) tak, aby początek wektora \(\vec{b}\) znalazł się w początku wektora \(\vec{a}\).
- Budujemy równoległobok oparty o wektory \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\).
- Sumę wektorów \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) otrzymujemy łącząc początek wektorów \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) naprzeciwległym wierzchołkiem równoległoboku.
Suma wielu wektorów — metoda graficzna
- Za pomocą przesunięcia równoległego przesuwamy wektory tak, aby początek kolejnego wektora znajdował się w końcu poprzedniego wektora. Tworzymy w ten sposób „łańcuch” wektorów.
- Sumę wektorów otrzymujemy, łącząc początek pierwszego wektora z końcem ostatniego.
Dodawanie wektorów równoległych
Wektory równoległe najłatwiej dodawać, stosując metodę trójkąta, czyli do końca jednego wektora przesuwamy początek drugiego. Sumę wektorów otrzymujemy, łącząc początek pierwszego z końcem drugiego wektora. Oto dwa przykłady:
Dodawanie wektorów — wzór
Jeżeli mamy dane współrzędne wektorów, to prawdziwe jest twierdzenie:
Twierdzenie
Jeżeli \(\vec{a}=[a_x,a_y],\ \vec{b}=[b_x,b_y], \ k\in \mathbb{R}\), to:
Powyższy wzór na dodawanie wektorów zastosujemy w poniższym przykładzie.
Przykład 1
Dane są wektory:\(\vec{a}=[3,4], \vec{b}=[1,2]\).
Obliczamy sumę wektorów: \(\vec{a}+\vec{b}=[3+1,4+2]=[4,6]\)
Jeśli wektor jest wyrażony jako suma wersorów układu mnożonych przez odpowiednie współrzędne wektorów, wówczas sumując je lub odejmując od siebie, sumujemy lub odejmujemy odpowiednie składowe wektorów, grupując je.
Przykład 2
Dane są wektory:
\(\vec{a}=5\vec{i}-2\vec{j}\)
\(\vec{b}=-2\vec{i}+2\vec{j}\)
Znaleźć sumę tych wektorów.
Wykonujemy więc dodawanie wektorów:
\(\vec{a}+\vec{b}=5\vec{i}-2\vec{j}+(-2\vec{i}+2\vec{j})=5\vec{i}-2\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{j}=\)
\(=(5-2)\vec{i}+(-2+2)\vec{j}=3\vec{i}+0\cdot \vec{j}=3\vec{i}\)
Pytania
Gdzie znajduje zastosowanie dodawanie wektorów?
Powszechnie dodawanie wektorów stosuje się w fizyce i technice dla sumowania wielkości wektorowych, na przykład prędkości, przyspieszenia, a także dla wyznaczania siły wypadkowej wielu sił działających na dane ciało.
Ćwiczenia
Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Dany jest prostokąt \(ABCD\). Zaznacz na rysunku wektory:
\(\vec{a}=\vec{AB}+\vec{BC},\ \vec{b}=\vec{AD}+\vec{BA}\)
\(\vec{c}=\vec{DC}+\vec{AB},\ \vec{d}=\vec{AB}+\vec{CB}\)
Zadanie nr 2.
Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\). Zaznacz na rysunku wektory:
\(\vec{a}=\vec{AB}+\vec{BC},\ \vec{b}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD},\)
\(\vec{c}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DA},\ \vec{d}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{DC}\)
Zadanie nr 3.
Dane są wektory \(\vec{a}, \vec{b}\), pokazane na poniższym rysunku. Znaleźć graficznie wektor \(\vec{c}\), jeżeli wiadomo, że \(\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}\).
Zadanie nr 4.
Znaleźć graficznie sumę wektorów \(\vec{a}=[-2,3], \vec{b}=[2,1]\):
a) metodą trójkąta
b) metodą równoległoboku.
Zadanie nr 5.
Dane są wektory \(\vec{a}=[-2,3], \vec{b}=[3,-3], \vec{c}=[2,4]\). Znaleźć:
- \(\vec{a}+\vec{b}\)
- \(-\vec{a}+\vec{c}\)
- \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\)
- \(\vec{b}-\vec{a}\)
- \(\vec{c}-\vec{a}+\vec{b}\)
- \(\ 5\vec{a}-3\vec{b}\)
Zadanie nr 6.
Dane są wektory \(\vec{a}=-5\vec{i}+6\vec{j}, \vec{b}=3\vec{i}-4\vec{j}, \vec{c}=\vec{i}-4\vec{j}\). Oblicz \(\vec{a}+\vec{b}, \vec{c}+\vec{b}, \vec{a}+\vec{b}-\vec{c}\).
Zadanie nr 7.
Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\). Znaleźć graficznie metodą równoległoboku wektor \(\vec{AD}+\vec{BC}\) (sumę wektorów wyznaczonych przez ramiona trapezu).
Zadanie nr 8.
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Znaleźć graficznie metodą równoległoboku wektor:
a) \(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{AC}\)
b) \(\vec{CA}+\vec{BC}\)
Zadanie nr 9.
Dany jest prostokąt \(ABCD\). Znaleźć graficznie wektory \(\vec{AB}+\vec{DC}, \vec{BC}+\vec{DA}, \vec{DA}-\vec{BC}, \vec{CD}-\vec{BA}\).
Inne zagadnienia z tej lekcji
© medianauka.pl, 2008-04-25, A-26
Data aktualizacji artykułu: 2023-07-10