Symbol Newtona

Najczęściej będziemy rozpatrywać przypadek, gdy \(n\) jest liczbą całkowitą nie mniejszą od \(k\). W takim przypadku symbol Newtona przyjmuje postać:

\({n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Przykłady

\({5\choose0}=\frac{5!}{0!5!}=1\)
\({5\choose5}=\frac{5!}{5!0!}=1\)
\({0\choose0}=\frac{0!}{0!0!}=1\)
\({4\choose3}=\frac{4!}{3!1!}=4\)
\({7\choose2}=\frac{7!}{2!5!}=\frac{5!\cdot 6 \cdot 7}{1\cdot 2 \cdot 5!}=21\)

Obliczanie symbolu Newtona

Niech \(n\in{R},k\in{N}\).

Symbol Newtona, który oznaczamy \({n\choose k}\), a czytamy „n po k” jest to liczba wyrażona wzorem \({n\choose k}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdot ...\cdot(n-k+1)}{k!}\), gdy \(k\) jest większe od 0 oraz liczbę 1, gdy \(k=0\).

Przykłady

\({5\choose0}=1\)
\({5\choose5}=1\)
\({6\choose3}=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3!}=\frac{120}{6}=20\)
\({-\frac{1}{2}\choose4}=\frac{(-\frac{1}{2})\cdot(-\frac{3}{2})\cdot(-\frac{5}{2})\cdot(-\frac{7}{2})}{4!}=\frac{35}{128}\)

Wzory

Zachodzą następujące zależności:

\({n\choose 0}=1\)

\({n\choose n}=1\)

\({n\choose k}={n\choose n-k}\)

\({n\choose k}+{n\choose k+1}={n+1\choose k+1}\)

Kalkulator

Kalkulator — Symbol Newtona dla liczb naturalnych

W tym miejscu możesz obliczyć symbol Newtona dwóch liczb. Pamiętaj, aby podać liczby naturalne. Jeżeli podasz liczbę rzeczywistą, do obliczeń zostanie wzięta jedynie jej część całkowita.

Wpisz liczby:
n: k:

Rozwiązanie:

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Obliczyć:

a) \({111\choose110}+{112\choose110}\)

b) \({95\choose 90}+{95\choose 91}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć

a) \({n+1\choose n-1}\)

b) \({\frac{1}{3}\choose 3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Inne zagadnienia z tej lekcji

Silnia

Silnia i symbol Newtona