Sześcian
Sześcian jest to prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są równe.
Inna nazwa sześcianu to heksaedr.
Objętość sześcianu
Jak obliczyć objętość sześcianu?
Sześcian jest graniastosłupem, a objętość graniastosłupa obliczamy, mnożąc pole powierzchni podstawy (kwadratu) przez wysokość (długość krawędzi bocznej).
Wzór na objętość sześcianu jest następujący:
Przykład
Oblicz objętość sześcianu o krawędzi długości 2.
Stosujemy wprost wzór na objętość sześcianu i otrzymujemy: \(V=a^3=2^3=8\).
Pole powierzchni sześcianu
Jak obliczyć pole powierzchni sześcianu? Sześcian jest graniastosłupem, a pole powierzchni graniastosłupa obliczamy, dodając pola powierzchni podstawy i pola powierzchni ścian bocznych. Wzór na pole powierzchni sześcianu jest następujący:
Aby zatem obliczyć pole sześcianu, wystarczy znać długość jego krawędzi.
Przykład
Oblicz pole sześcianu o krawędzi długości 2.
Stosujemy bezpośrednio wzór na pole powierzchni sześcianu i otrzymujemy: \(V=6a^2=6\cdot 2^2=24\).
Własności sześcianu
Sześcian jest przypadkiem wielościanu foremnego, gdyż wszystkie ściany są wielokątami foremnymi (kwadratami). Sześcian (heksaedr) ma sześć ścian kwadratowych, osiem wierzchołków i dwanaście krawędzi. Na sześcianie da się opisać kulę. Kulę też można wpisać w sześcian:
Promień kuli opisanej na sześcianie:
Promień kuli wpisanej w sześcian:
Przekątna sześcianu
Jak obliczyć przekątną sześcianu? Przekątna \(p\) tworzy z krawędzią długości \(a\), przekątną ściany o długości \(a\sqrt{2}\) przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym. Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można obliczyć: \(p^2=a^2+(a\sqrt{2})^2\), a stąd \(p=a\sqrt{3}\).
Wzór na przekątną sześcianu:
Siatka sześcianu
Siatkę sześcianu przedstawia poniższa ilustracja. Siatka pozwala zrobić sześcian z papieru, poprzez zagięcie i sklejenie wspólnych wolnych krawędzi. Warto dodać, że nie jest to jedyna możliwa siatka sześcianu. Ile różnych siatek ma sześcian? Jest ich 11.
Jak zrobić sześcian z papieru? Gotowy szablon siatki sześcianu do druku i sklejenia znajdziesz na końcu artykułu w formacie PDF w formie karty pracy.
Pytania
Ile krawędzi ma sześcian?
Sześcian ma 12 krawędzi.
Ile wierzchołków ma sześcian?
Sześcian ma 8 wierzchołków.
Ile ścian ma sześcian?
Jak sama nazwa mówi, sześcian ma sześć ścian.
Jakie pole powierzchni ma sześcian o przekątnej długości \(p\)?
Wyżej wyznaczona zależność między przekątną a długością krawędzi \(a\) może być wykorzystana do obliczenia objętości \(V=a^3=(\frac{p}{\sqrt{3}})^3 =\frac{\sqrt{3}p^3}{9}\).
Czy sześcian jest prostopadłościanem?
Tak, każdy sześcian jest prostopadłościanem, ale nie każdy prostopadłościan jest sześcianem.
Ćwiczenia
Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1.
Ile osób może zagłosować, używając kulek o średnicy 1 cm, wrzucając je do urny o wymiarach 1 m x 1 m x 1 m?
Zadanie nr 2.
Przekątna sześcianu ma długość równą \(\sqrt{3}\). Oblicz objętość tego sześcianu.
Zadanie nr 3 — maturalne.
Przekątna sześcianu ma długość \(4\sqrt{3}\). Pole powierzchni tego sześcianu jest równe
A. 96
B. \(24\sqrt{3}\)
C. 192
D. \(16\sqrt{3}\)
Zadanie nr 4 — maturalne.
Dany jest sześcian \(ABCDEFG\) o krawędzi długości \(a\). Punkty \(E, F, G, B\) są wierzchołkami ostrosłupa \(EFGB\) (zobacz rysunek).
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa \(EFGB\) jest równe
A. \(a^2\)
B. \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot a^2\)
C. \(\frac{3}{2}\cdot a^2\)
D. \(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\cdot a^2\)
Zadanie nr 5 — maturalne.
Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości 6. Punkt \(S\) jest punktem przecięcia przekątnych \(AH\) i \(DE\) ściany bocznej \(ADHE\) (zobacz rysunek).
Oblicz wysokość trójkąta \(SBH\) poprowadzoną z punktu \(S\) na bok \(BH\) tego trójkąta. Zapisz obliczenia.
Powiązane quizy
Wybrane karty pracy
Inne zagadnienia z tej lekcji
© medianauka.pl, 2011-08-05, A-1402
Data aktualizacji artykułu: 2023-07-02