Wariacje bez powtórzeń

Dany jest zbiór {1,2,3}.

• Oto wszystkie wariacje jednoelementowe bez powtórzeń powyższego zbioru: \((1), (2), (3)\).
• Oto wszystkie wariacje dwuelementowe bez powtórzeń powyższego zbioru: \((1,2), (1,3), (2,3), (2,1), (3,1), (3,2)\).
• Oto wszystkie wariacje trzyelementowe bez powtórzeń powyższego zbioru: \((1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)\).

Dla zbioru z pierwszego przykładu {1,2,3} policzmy, ile można z jego elementów utworzyć wariacji \(k\)-elementowych bez powtórzeń.

\(V^{1}_{3}= \frac{3!}{(3-1)!=\frac{2!\cdot 3}{2!}}=3\)

\(V^{2}_{3}= \frac{3!}{(3-2)!=\frac{3!}{1!}}=6\)

\(V^{3}_{3}= \frac{3!}{(3-3)!=\frac{2!\cdot 3}{0!}}=6\)

Na ile sposobów można z 30-osobowej klasy wybrać przewodniczącego, jego zastępcę oraz skarbnika?

Ten przykład jest podobny do zadania przy omawianiu pojęcia kombinacji. Tam jednak wybieraliśmy trzyosobową delegację i nie miało znaczenia, kto ma mieć jaką funkcję. Tutaj wybranym trzem osobom przydzielamy funkcje, czyli ustawiamy je w ciąg. Kolejność wyboru ma znaczenie, zamiast kombinacji stosujemy wariacje bez powtórzeń (zakładamy przy tym, że przewodniczący nie może być jednocześnie swoim zastępcą i skarbnikiem).

Liczbę wariacji trzyelementowych bez powtórzeń z 30-elementowego zbioru uczniów w klasie obliczamy z poznanego powyżej wzoru.

\(V^{3}_{30}=\frac{30!}{(30-3)!}=\frac{27!\cdot{28}\cdot{29}\cdot{30}}{27!}=24360\)

Odpowiedź: wyboru przewodniczącego, jego zastępcy oraz skarbnika z trzydziestoosobowej klasy można wybrać na 24360 sposobów.