Wielokąt foremny

Co to jest wielokąt foremny? Oto formalna definicja.

Wielokąt foremny jest to wielokąt, którego wszystkie boki i kąty wewnętrzne są równe.

Na poniższej ilustracji przedstawiono wielokąty foremne o trzech (trójkąt równoboczny), czterech (kwadrat, czworokąt foremny), pięciu, sześciu bokach i tak dalej (ogólnie o n—bokach).

wielokąty foremne

Własności wielokątów foremnych

Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny można wpisać okrąg. Oba okręgi mają wspólny środek.

wielokąt foremny wpisany i opisany na okręgu

Długość promienia okręgu wpisanego i opisanego na wielokącie foremnym

Tablica Poniższa tabela zawiera wzory na promień okręgu wpisanego i opisanego na wielokącie foremnym dla najczęściej spotykanych liczby boków, gdy dana jest długość boku wielokąta \(a\).

Liczna n boków wielokąta	Promień R okręgu opisanego na wielokącie	Promień r okręgu wpisanego w wielokąt
3	\(\frac{a}{\sqrt{3}}\)	\(\frac{a}{2\sqrt{3}}\)
4	\(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)	\(\frac{a}{2}\)
5	\(a^2\)	\(\frac{a}{2\sqrt{5}}\sqrt{5+2\sqrt{5}}\)
6	\(a\)	\(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
8	\(\frac{a}{\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2}}\)	\(\frac{a}{2}(1+\sqrt{2})\)
10	\(2a^2(1+\sqrt{2})\)	\(\frac{a}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}\)

Pole powierzchni wielokąta foremnego

Tablica Poniższa tabela zawiera wzory na pole powierzchni wielokąta dla najczęściej spotykanych liczby boków, gdy dana jest długość boku wielokąta \(a\).

Liczna n boków wielokąta	Pole powierzchni wielokąta
3	\(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
4	\(a^2\)
5	\(\frac{a^2\sqrt{5}}{4}\sqrt{5+2\sqrt{5}}\)
6	\(\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\)
8	\(2a^2(1+\sqrt{2})\)
10	\(\frac{5a^2}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}\)

Miary kątów wewnętrznych wielokąta foremnego

Poniższa tabela zawiera miary kątów wewnętrznych różnych wielokątów foremnych.

Liczba boków	Miara kąta wewnętrznego
3	60°
4	90°
5	108°
6	120°
7	128,(571428)°
8	135°
9	140°
10	144°
11	147,(27)°
12	150°

Pytania

Ile boków ma wielokąt foremny o kącie wewnętrznym 160°?

Korzystamy ze wzoru \(k=\frac{(n-2)}{n}\cdot 180°\). Gdy podstawimy za \(k=160\), otrzymamy równanie, którego rozwiązaniem jest \(n=18\). Zatem wielokąt ten ma 18 boków.

Jak obliczyć pole wielokąta nieforemnego?

Jeżeli nie jest to trójkąt, prostokąt, trapez, równoległobok, romb lub inna figura, której pole powierzchni można policzyć na podstawie znanych powszechnie wzorów, wielokąt taki najlepiej podzielić na trójkąty, obliczyć ich pola i zsumować je.

Jak skonstruować wielokąt foremny?

W naszym serwisie pokazujemy kilka różnych konstrukcji wielokątów foremnych. Przejdź na sam koniec artykułów, są tam linki do danych konstrukcji.

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie nr 1.

Obliczyć pole sześciokąta foremnego, którego bok ma długość 3.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Pole sześciokąta foremnego jest równe \(\sqrt{3}\). Obliczyć obwód tego sześciokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Pole powierzchni ośmiokąta foremnego jest równe 2. Obliczyć długość promienia okręgu wpisanego w ten ośmiokąt.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

W okrąg o promieniu \(R=10\) wpisano ośmiokąt foremny. Jaki promień ma okrąg, w który wpisano sześciokąt foremny o takim samym polu powierzchni co ośmiokąt foremny.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Obliczyć miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) n-kąta foremnego.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Miara kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) pewnego wielokąta foremnego jest równa 162°. Ile boków ma ten wielokąt?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Ile wynosi miara kąta zewnętrznego w ośmiokącie foremnym?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

W koło o promieniu \(r\) wpisano kwadrat. Oblicz pole figury, która stanowi różnicę tego koła i kwadratu?