Ciąg geometryczny
Co to jest ciąg geometryczny?
Definicja
Ciąg \((a_n)\) jest ciągiem geometrycznym, jeżeli istnieje liczba \(q\neq 0\), że dla każdego n w przypadku ciągu nieskończonego i dla każdego \(n<k\) w przypadku ciągu skończonego, k-wyrazowego oraz \(k\geq 3\) spełniony jest warunek:
Liczba \(q\) to tak zwany iloraz ciągu geometrycznego.
Mówiąc inaczej, jeżeli iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stały, to mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym. Oto przykłady takich ciągów.
Przykłady ciągów geometrycznych
| Przykład ciągu | Iloraz ciągu geometrycznego |
|---|---|
| \((1,2,4,8,...)\) | \(q=2\) |
| \((-1,2,-4,8,...)\) | \(q=-2\) |
| \((1,5,25,125)\) | \(q=5\) |
| \((1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8},...)\) | \(q=\frac{1}{2}\) |
| \((1, \sqrt{2}, 2, 2 \sqrt{2},...)\) | \(q=\sqrt{2}\) |
Jak sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny?
Jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu i iloraz \(q\), to łatwo można budować pozostałe wyrazy ciągu. Wystarczy poprzedni wyraz pomnożyć przez iloraz \(q\).
Jeżeli ciąg jest wyrażony za pomocą wzoru, to aby sprawdzić, czy dany ciąg jest geometryczny, należy sprawdzić iloraz dwóch kolejnych wyrazów zgodnie z definicją.
Przykład 1
Sprawdzimy, czy ciąg \(a_n=\frac{5}{2^n}\) jest ciągiem geometrycznym.
Obliczamy:
\(a_{n+1}=\frac{5}{2^(n+1)}=\frac{5}{2\cdot 2^n}\)
Obliczamy iloraz
\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{5}{2\cdot 2^n}}{\frac{5}{2^n}}=\frac{5}{2\cdot 2^n} \cdot \frac{2^n}{5}=\frac{1}{2}=const=q\)
Otrzymaliśmy wartość stałą (constans), a więc iloraz każdych kolejnych dwóch wyrazów jest taki sam — ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Przykład 2
Sprawdzić, czy ciąg \(a_n=n^2\) jest ciągiem geometrycznym.
Obliczamy
\(a_{n+1}=(n+1)^2=n^2+2n+1\)
Obliczamy iloraz
\(\frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{n^2+2n+1}{n^2}= 1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\neq const\)
Nie otrzymaliśmy stałej wartości, a jedynie wyrażenie zależne od liczby \(n\). Dany ciąg nie jest więc ciągiem geometrycznym.
Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
Twierdzenie
Jeżeli \((a_n)\) jest ciągiem geometrycznym, a \(q\) ilorazem ciągu geometrycznego, to dla każdego \(n \in N_+\) zachodzi wzór na n-ty wyraz ciągu:
Zatem jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu i iloraz ciągu geometrycznego możemy obliczyć dowolny wyraz tego ciągu. Zobaczmy to na przykładzie.
Przykład
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego o ilorazie \(q=5\) jest równy \(3\). Oblicz dziesiąty wyraz ciągu.
Mamy wszystkie dane, aby skorzystać ze wzoru na n-ty wyraz ciągu.
\(a_{10}=3\cdot 5^{(10-1)}=5859375\)
Twierdzenie
Każdy wyraz ciągu geometrycznego z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego dla ciągu skończonego) jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego:
Suma wyrazów ciągu geometrycznego
Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Suma \(n\) kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego \((a_n)\) wyraża się wzorem:
\(S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}\) dla \(q\neq 1\)
\(S_n=a_1\cdot n\) dla \(q=1\)
Powyższe oznacza, że jeżeli mamy ciąg geometryczny \((a_1,a_2,a_3,...)\), to według powyższego wzoru możemy obliczyć sumę \(S_n=\underbrace{a_1+a_2+..+a_n}_{n - składników}\).
Przykład
Obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów ciągu geometrycznego, którego \(a_1=1, q=5\).
Z warunków zadania wynika, że jest to ciąg geometryczny. Możemy więc skorzystać wprost ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego:
\(a_1=1\)
\(n=10\)
\(q=5\)
\(S_n=1\cdot \frac{1-5^{10}}{1-5}=\frac{1-9765625}{-4}=2441406\)
Ciągi geometryczne — wzory
W poniższej tabeli zamieszczono podstawowe wzory, będące podsumowaniem niniejszego artykułu.
| Nazwa | Wzór |
| ciąg geometryczny | \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\) |
| n-ty wyraz ciągu geometrycznego | \(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\) |
| własności wyrazów ciągu geometrycznego | \(a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}\) |
| suma wyrazów ciągu geometrycznego | \(S_n=a_1\cdot{\frac{1-q^n}{1-q}} \ dla \ q\neq 1\) \(S_n=a_1\cdot n, \ dla \ q=1\) |
Przykład zadania
Czwarty wyraz ciągu geometrycznego jest równy 5, a szósty wyraz jest równy 25. Obliczyć pierwszy wyraz ciągu.
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego. Mamy więc z warunków zadania:
\(a_4=5=a_1\cdot q^{4-1}=a_1\cdot q^3\)
\(a_6=25=a_1\cdot q^{6-1}=a_1\cdot q^5\)
Aby znaleźć iloraz \(q\), dzielimy oba wyrazy przez siebie:
\(\frac{a_4}{a_6}=\frac{a_1\cdot q^3}{a_1\cdot q^5}=\frac{1}{q^2}=\frac{5}{25}\)
Więc
\(q^2=5\)
\(q=\sqrt{5}\) lub \(q=-\sqrt{5}\)
Możliwe są więc dwa pierwsze wyrazy ciągu, które obliczamy z pierwszego zapisanego równania na czwarty wyraz ciągu:
\(a_4=a_1\cdot q^3\)
\(a_1=\frac{a_4}{q^3}=\frac{5}{(\sqrt{5})^3} =\frac{5}{5\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)
lub
\(a_1=\frac{5}{(-\sqrt{5})^3} =\frac{5}{-5\sqrt{5}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}\)
Ćwiczenia
Ćwiczenia interakcyjne pomogą przygotować się na sprawdzian, test, egzamin, a ponadto usystematyzują wiedzę z danej dziedziny. To także świetny trening do matury. Wiele ćwiczeń to dobre zadania maturalne.
Zadania z rozwiązaniami
Zadanie nr 1 — maturalne.
Liczby \(a, b, c\) są — odpowiednio — pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg \((a−2, b, 2c+1)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\).
Zadanie nr 2 — maturalne.
W chwili początkowej (\(t=0\)) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej \(t\geq 0\) funkcja \(m(t)\) określa masę substancji w gramach po \(t\) pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji \(m(t)\). Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od \(1,5\) grama. Zapisz obliczenia.
Zadanie nr 3 — maturalne.
Trzywyrazowy ciąg \((27,9,a-1)\) jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(a\) jest równa
A. 3
B. 0
C. 4
D. 2
Zadanie nr 4 — maturalne.
Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), są dodatnie i \(9a_5=4a_3\). Wtedy iloraz tego ciągu jest równy
A. \(\frac{2}{3}\)
B. \(\frac{3}{2}\)
C. \(\frac{2}{9}\)
D. \(\frac{9}{2}\)
Zadanie nr 5 — maturalne.
W trzywyrazowym ciągu geometrycznym \((a_1, a_2, a_3)\) spełniona jest równość \(a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4}\). Wyrazy \(a_1, a_2, a_3\) są — odpowiednio — czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a_1\).
Zadanie nr 6 — maturalne.
Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(6a_1-5a_2+a_3= 0\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu należący do przedziału \(\langle 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}\rangle\).
Zadanie nr 7 — maturalne.
Ciąg \((a, b, c)\) jest geometryczny, ciąg \((a+1, b+5, c)\) jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz \(a+b+c=39\). Oblicz \(a, b, c\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek \(\frac{a_5}{a_3}=\frac{1}{9}\). Iloraz tego ciągu jest równy:
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
C. \(3\)
D. \(\sqrt{3}\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Liczby \(a, b, c\), spełniające warunek \(3a+b+3c=77\), są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg \((a, b+1, 2c)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\) oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.
Zadanie nr 10 — maturalne.
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\), w którym \(a_1=\sqrt{2}, a_2=2\sqrt{2}, a_3=4\sqrt{2}\). Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać
A. \(a_n=(\sqrt{2})^n\)
B. \(a_n=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\)
C. \(a_n=(\frac{\sqrt{2}}{2})^n\)
D. \(a_n=\frac{(\sqrt{2})^n}{2}\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Dany jest ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{(5-2n)}{6}\) dla \(n\geq 1\). Ciąg ten jest
A. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-\frac{1}{3}\).
B. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-2\).
C. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=-\frac{1}{3}\).
D. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=\frac{5}{6}\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Trzywyrazowy ciąg \((15, 3x, \frac{5}{3})\) jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że:
A. \(x=\frac{3}{5}\)
B. \(x=\frac{4}{5}\)
C. \(x=1\)
D. \(x=\frac{5}{3}\)
Zadanie nr 13.
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: \((2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)\).
Zadanie nr 14 — maturalne.
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny \((24, 6, a − 1)\). Stąd wynika, że:
A. \(\frac{5}{2}\)
B. \(\frac{2}{5}\)
C. \(\frac{3}{2}\)
D. \(\frac{2}{3}\)
Zadanie nr 15 — maturalne.
Liczby: \(x-2, 6, 12\), w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba \(x\) jest równa:
A. 0
B. 2
C. 3
D. 5
Zadanie nr 16 — maturalne.
W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy \(a_1, a_3, a_k\) ciągu \((a_n)\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg — trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_n)\). Oblicz \(k\).
Zadanie nr 17 — maturalne.
W rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\) , określonym dla \(n\geq 1\), spełniony jest warunek \(a_4=3a_1\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy:
A. \(q=\frac{1}{3}\)
B. \(q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
C. \(q=\sqrt[3]{3}\)
D. \(q=3\)
Zadanie nr 18 — maturalne.
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=(\frac{1}{2x-371})^n\), dla \(n\geq 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą \(x\), dla której nieskończony szereg \(a_1+a_2+a_3+...\) jest zbieżny.
Zadanie nr 19 — maturalne.
Ciąg \((x,2x+3,4x+3)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
A. -4
B. 1
C. 0
D. -1
Zadanie nr 20.
Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?
Zadanie nr 21.
Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody, wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?
Zadanie nr 22.
Dla jakich wartości \(x\) i \(y\) ciąg \((5,x,y,\frac{1}{25})\) jest ciągiem geometrycznym?
Zadanie nr 23.
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.
Zadanie nr 24.
Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), a siódmy \(\sqrt{2}\). Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.
Inne zagadnienia z tej lekcji
Ciąg liczbowy
Ciąg arytmetyczny
Szereg geometryczny
Ciąg geometryczny
Wykres ciągu
Monotoniczność ciągu© medianauka.pl, 2009-08-24, A-307
Data aktualizacji artykułu: 2023-05-13