Wykres funkcji homograficznej

Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola lub prosta (w szczególnym przypadku). W niniejszym artykule będzie nas interesowała jedynie hiperbola.

Zacznijmy od najprostszego przypadku. Wykreślimy wykres funkcji \(y=\frac{1}{x}\). Dziedziną tej funkcji jest \(\mathbb{R}\setminus\lbrace 0\rbrace \). Czyli dla zera funkcja nie jest określona. Sporządźmy tabelkę zmienności.

\(x\) -3-2-1-1/2-1/31/31/21234
\(y\) \(-\frac{1}{3}\) \(-\frac{1}{2}\) -1-2-3321 \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{4}\)

Na podstawie wypełnionej tabelki sporządzamy szkic wykresu funkcji (hiperboli).

Hiperbola - wykres funkcji y=1/x

Widzimy, że funkcja jest malejąca w całej swojej dziedzinie.

Na poniższej ilustracji widzimy szkic wykresu funkcji \(y=-\frac{1}{x}\).

Wykres funkcji y=-1/x

Widzimy, że funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

WykresHiperbola — Wykres funkcji homograficznej online

Niniejsza symulacja ilustruje zachowanie hiperboli w zależności od wartości współczynnika a. Zmieniaj jego wartość za pomocą suwaka.



Funkcja w postaci y = a/x, czyli y =

a 1

Przesuwanie wykresu funkcji homograficznej

Aby sporządzić wykres funkcji homograficznej \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\), korzystamy z przesunięcia wykresu funkcji o pewien wektor.

Doprowadzamy naszą funkcję do postaci \(y-v=\frac{m}{x-u}\) (poprzez podzielenie licznika przez mianownik — patrz dzielenie wielomianów) i przesuwamy wykres funkcji \(y=\frac{1}{x}\) o wektor \(\vec{w}=[u,v]\).

Przykłady

Sporządzić wykres funkcji \(y=\frac{2x+3}{x+3}\).

Dzielimy wielomiany:

dzielenie

Otrzymaliśmy resztę z dzielenia, więc możemy powyższą funkcję zapisać w postaci: \(y=2+\frac{-3}{x+3}\), czyli \(y-2=\frac{-3}{x+3}\).

Zatem, aby sporządzić wykres tej funkcji, musimy przesunąć wykres funkcji \(y=\frac{-3}{x}\) o wektor \(\vec{w}=[-3,2]\).

Na poniższej ilustracji kolorem czerwonym zaznaczono wykres właściwej funkcji. Linią przerywaną zaznaczono wykres funkcji \(y=\frac{-3}{x}\).

Wykres funkcji y=3x



Zadania z rozwiązaniami

zadanie maturalne

Zadanie nr 1.

Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{|x|}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2.

Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{|x+2|}-3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3.

Sporządzić wykres funkcji \(y=\frac{x-3}{x-4}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4.

Sporządzić wykres funkcji \(y=\frac{-4x+7}{2x-2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej f(x), której dziedziną jest zbiór \(D=(-\infty,3)\cup (3,+\infty)\).

ilustracja do zadania maturalnego 3

Równanie \(|f(x)|=p\) z niewiadomą \(x\) ma dokładnie jedno rozwiązanie

A. w dwóch przypadkach: \(p=0\) lub \(p=3\).

B. w dwóch przypadkach: \(p=0\) lub \(p=2\).

C. tylko wtedy, gdy \(p=3\).

D. tylko wtedy, gdy \(p=2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.





Inne zagadnienia z tej lekcji


© medianauka.pl, 2009-08-20, A-292
Data aktualizacji artykułu: 2023-04-30



Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.