Zadania — analiza matematyczna

Analiza matematyczna w zadaniach - zbiór zadań z analizy matematycznej. To zadania z rozwiązaniami. Są tu zadania autorskie oraz maturalne na poziomie podstawowym i rozszerzonym z kilku ostatnich lat.


Zadanie nr 1.

Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie \(c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Jakiej długości linijką trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość. Najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Obliczyć \(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Obliczyć \(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać równanie \(5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Rozwiązać równanie \(1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10.

Dla jakich wartości parametru \(x\) szereg geometryczny \(1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+...\) jest zbieżny?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11.

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12.

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13.

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 14.

Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 15.

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 16.

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}5^n=\infty\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 17.

Wykazać na podstawie definicji, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 18.

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 19.

Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: \((2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 20.

Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), a siódmy \(\sqrt{2}\). Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 21.

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 22.

Dla jakich wartości \(x\) i \(y\) ciąg \((5,x,y,\frac{1}{25})\) jest ciągiem geometrycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 23.

Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody, wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 24.

Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 25.

Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu:

\((\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\sqrt{2}, \frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2},2+2\sqrt{2}, ...)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 26.

Wykazać, że ciąg \(a_n=\frac{n\sqrt{2}+n}{3}\) jest ciągiem arytmetycznym.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 27.

Obliczyć sumę stu pierwszych liczb parzystych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 28.

Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli wyraz piąty i siódmy jest równy odpowiednio \(7\) i \(\sqrt{7}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 29.

Dla jakich wartości \(x\) i \(y\) ciąg \((5, x, y, \frac{1}{5})\) jest ciągiem arytmetycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 30.

Rozwiązać równanie \(2+3+4+...+x=209\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 31.

Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków tworzą ciąg arytmetyczny, wynosi 6 cm3. Znaleźć długości wszystkich boków trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 32.

Sporządzić wykres ciągu \(a_n=\frac{(-2)^n}{n+1}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 33.

Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu, którego fragment wykresu został przedstawiony na ilustracji:

Wykres ciągu

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 34.

Napisać:

a) trzy początkowe wyrazy ciągu \(a_n=\frac{n[2-(-2)^{n+1}]}{n+1}\) oraz znaleźć dziewiąty wyraz tego ciągu.

b) pięć początkowych wyrazów ciągu \(\begin{cases}a_1=2 \\ a_2=4 \\ a_n=a_{n-2}+2a_{n-1}, \ dla \ n\geq 3 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 35.

Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 36.

Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 37.

Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 38.

Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 39.

Wykazać, że funkcja \(f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x}\) nie ma granicy w punkcie 0.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 40.

Obliczyć \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{-2}{x^2}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 41.

Obliczyć \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x^8}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 42.

Obliczyć:

a) \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{\frac{2x^3-x^2+3x-1}{2-x^3}}\)

b) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\frac{3x^3+3x-1}{7-x^5}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 43.

Obliczyć \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 44.

Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:

a) \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\) w punkcie \(x_0=2\).

b) \(f(x)=\frac{x-7}{x^2-9}\) w punkcie \(x_0=-3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 45.

Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:

a) \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\) w punkcie \(x_0=1\).

b) \(f(x)=\frac{2}{x^2}\) w punkcie \(x_0=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 46.

Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji \(f(x)=\frac{x+|x|}{x}\) w punkcie \(x_0=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 47.

Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji

\(f(x)=\begin{cases} 5x-x^2+1, \ dla \ x>-1 \\ 5-x, \ dla \ x< -1 \end{cases}\)

w punkcie \(x_0=-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 48.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 49.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 50.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 51.

Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 52.

Zbadać, czy funkcja \(f(x)=\begin{cases} -2x, \ dla \ x \leq 0 \\ x^2, \ dla \ x > 0 \end{cases}\) jest ciągła w punkcie \(x_0=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 53.

Dla jakich wartości parametru \(a\) funkcja \(f(x)=\begin{cases} 2x^2-a, \ dla \ x \geq 1 \\ x-1, \ dla \ x < 1 \end{cases}\) jest ciągła w punkcie \(x_0=1\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 54.

Sprawdzić, czy funkcja \(f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+x-6}{x-2}, \ dla \ x\in(-\infty;2) \\5, \ dla\ x=2 \\ 3x-1, \ dla \ x\in (2;\infty) \end{cases}\) jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 55.

Sprawdzić, czy funkcja \(f(x)=|x+1|-x\) jest ciągła w punkcie \(x_0=-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 56.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=-x^2+x-1\) w punkcie \(x_0=-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 57.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=x^2\) w punkcie \(x_0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 58.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{1}{x+1}\) w punkcie \(x_0=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 59.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=|x|\) w punkcie \(x_0=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 60.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\begin{cases} x^2 \ dla \ x\geq 0 \\ -2x^2 \ dla \ x<0 \end{cases}\) w punkcie \(x_0=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 61.

Obliczyć pochodną funkcji

\(a) f(x)=-\frac{1}{2}\)

\(b) g(x)=x^{17}\)

\(c) h(x)=x^{\frac{1}{3}}\)

\( d) i(x)=x\)

\( e) j(x)=\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 62.

Obliczyć pochodną funkcji:

\(a) f(x)=-x+5\)

\(b) g(x)=-5x^2+2\sqrt{x}\)

\( c) h(x)=\sin{x}+2\cos{x}\)

\( d) i(x)=-\frac{1}{x}-tgx\)

\( e) j(x)=3x^3-2x^2+x-1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 63.

Obliczyć pochodną funkcji:

\(a) f(x)=x\sin{x}\)

\(b) g(x)=\sin^2{x}\)

\(c) h(x)=x\sqrt{x}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 64.

Obliczyć pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\frac{\sin{x}}{x}\)

b) \(f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}\)

c) \(f(x)=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 65.

Obliczyć pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}\)

b) \(f(x)=\frac{5x^3-x+1}{x^2-1}\)

c) \(f(x)=\frac{5x^4-3x^2}{2x^3-1}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 66.

Obliczyć pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\sin{2x}\)

b) \(f(x)=\sqrt{x^3-2x+1}\)

c) \(f(x)=\sqrt[3]{1+x^2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 67.

Obliczyć pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\sin{(\cos{x})}\)

b) \(f(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 68.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\sin^2{x}\cdot \cos^2{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 69.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{\sin{2x}}{1+cos^2{x}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 70.

Obliczyć drugą pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\sqrt{x}\)

b) \(f(x)=x^2-x^3+\frac{1}{x^3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 71.

Obliczyć drugą pochodną funkcji:

a) \(f(x)=\cos^2{2x}\)

b) \(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 72.

Dla jakiej wartości argumentu \(x\) druga pochodna funkcji \(f(x)=\frac{1}{1+x}\) jest równa \(\frac{1}{4}\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 73.

Rozwiąż równanie \(y''+y'=0\), gdzie \(y=x^3+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 74.

Znaleźć równanie stycznej do krzywej \(f(x)=\frac{2}{x}\) w punkcie \((2,1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 75.

Znaleźć równanie stycznej do krzywej \(f(x)=\sin{x}\) w punkcie \((\frac{\pi}{2},1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 76.

Znaleźć równanie stycznej do okręgu \((x-1)^2+y^2=2\) w punkcie \((1,-\sqrt{2})\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 77.

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=\frac{x^2}{x-1}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 78.

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=x^3-6x+5\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 79.

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=x^2+\frac{2}{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 80.

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji \(f(x)=\sqrt{2}+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 81.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 82.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=2x-\frac{1}{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 83.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=2x+\frac{1}{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 84.

Znaleźć ekstremum funkcji \(f(x)=\frac{2x}{x^2+1}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 85.

Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=3x+\frac{1}{x}\) w przedziale \(\langle-1;1\rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 86.

Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=1+\frac{x^2}{x+2}\) w przedziale \(\langle -\frac{3}{2};0\rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 87.

Znaleźć asymptoty funkcji \(f(x)=\frac{x^2-1}{4x^2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 88.

Znaleźć asymptoty funkcji \(f(x)=\frac{x^2-3}{x-2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 89.

Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem \(y=x-x^2\). Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 90.

Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności \(V\) zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 91.

Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=x^3+x^2-5x+3\) i naszkicować jej wykres.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 92.

Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=\frac{x^2-1}{x-4}\) i naszkicować jej wykres.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 93.

Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=\frac{4x+1}{2x^2-4x}\) i naszkicować jej wykres.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 94.

Zbadać przebieg zmienności funkcji \(f(x)=\frac{x^3+1}{x^2}\) i naszkicować jej wykres.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 95.

Oblicz:

a) \(\int \frac{dx}{\sqrt{x}}\)

b) \(\int \sqrt{x}dx\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 96.

Oblicz:

a) \(\int \sqrt[3]{x}dx\)

b) \(\int x^{12}dx\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 97.

Oblicz:

a) \(\int 0dx\)

b) \(\int (-\frac{1}{2}\sqrt{2})dx\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 98.

Oblicz \(\int{(x^3+x^2-x+2)}dx\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 99.

Oblicz \(\int{8x(x-1)(x+1)}dx\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 100.

Oblicz \(\int{3[(x+3)^3+1]dx}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 101.

Oblicz \(\int{2\frac{\sqrt{x}-\sqrt[4]{x}}{x\sqrt{x}}dx}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 102.

Oblicz \(\int{x^3\sqrt{3x^4-5}dx}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 103.

Obliczyć \(\int{3\sin^2{x}\cos{x}dx}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 104.

Oblicz \(\int{\frac{\ln^2{x}}{x}dx}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 105.

Oblicz \(\int{2^{2x}\ln{2}dx}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 106.

Oblicz \(A=\int{x\cos{x}dx}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 107.

Obliczyć \(A=\int{(\ln{x})^3dx}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 108.

Obliczyć pochodną funkcji \(f(x)=\frac{\sqrt[5]{x}}{10x^8}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 109 - maturalne.

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają warunek \(a_3+a_5=58\). Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy

A. 28

B. 29

C. 33

D. 40

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 110 - maturalne.

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(8\), a różnica tego ciągu jest równa \((-\frac{3}{2})\). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy:

A. \(\frac{37}{2}\)

B. \(-\frac{37}{2}\)

C. \(-\frac{5}{2}\)

D. \(\frac{5}{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 111 - maturalne.

Ciąg \((x,2x+3,4x+3)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -4

B. 1

C. 0

D. -1

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 112 - maturalne.

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2n^2+2n\) dla \(n\geq 1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 113 - maturalne.

Funkcja \(f(x)=\frac{3x-1}{x^2+4}\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Pochodna tej funkcji jest określona wzorem:

A. \(f'(x)=\frac{-3x^2+2x+12}{(x^2+4)^2}\)

B. \(f'(x)=\frac{-9x^2+2x-12}{(x^2+4)^2}\)

C. \(f'(x)=\frac{3x^2-2x-12}{(x^2+4)^2}\)

D. \(f'(x)=\frac{9x^2-2x+12}{(x^2+4)^2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 114 - maturalne.

Granica \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}\). Wynika stąd, że

A. \(p=-8\)

B. \(p=4\)

C. \(p=2\)

D. \(p=-2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 115 - maturalne.

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=(\frac{1}{2x-371})^n\), dla \(n\geq 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą \(x\), dla której nieskończony szereg \(a_1+a_2+a_3+...\) jest zbieżny.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 116 - maturalne.

Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 117 - maturalne.

W rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\) , określonym dla \(n\geq 1\), spełniony jest warunek \(a_4=3a_1\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy:

A. \(q=\frac{1}{3}\)

B. \(q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)

C. \(q=\sqrt[3]{3}\)

D. \(q=3\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 118 - maturalne.

W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy \(a_1, a_3, a_k\) ciągu \((a_n)\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg — trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_n)\). Oblicz \(k\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 119 - maturalne.

Oblicz granicę \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})\). W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

kratki

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 120 - maturalne.

Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=x^3-2x^2+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji \(f\), które są równoległe do prostej o równaniu \(y=4x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 121 - maturalne.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 122 - maturalne.

Ciąg \((b_n)\) jest określony wzorem \(b_n=3n^2-25n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Liczba niedodatnich wyrazów ciągu \((b_n)\) jest równa

A. 14

B. 13

C. 9

D. 8

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 123 - maturalne.

Liczby \(2,-1,-4\) są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla liczb naturalnych \(n\geq 1\). Wzór ogólny tego ciągu ma postać:

A. \(a_n=-3n+5\)

B. \(a_n=n-3\)

C. \(a_n=-n+3\)

D. \(a_n=3n-5\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 124 - maturalne.

Liczby: \(x-2, 6, 12\), w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba \(x\) jest równa:

A. 0

B. 2

C. 3

D. 5

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 125 - maturalne.

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są: \(a_1=5, a_2=11\). Wtedy

A. \(a_{14}=71\)

B. \(a_{12}=71\)

C. \(a_{11}=71\)

D. \(a_{10}=71\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 126 - maturalne.

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny \((24, 6, a − 1)\). Stąd wynika, że:

A. \(\frac{5}{2}\)

B. \(\frac{2}{5}\)

C. \(\frac{3}{2}\)

D. \(\frac{2}{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 127 - maturalne.

Liczby \(a, b, c\) są — odpowiednio — pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg \((a−2, b, 2c+1)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 128 - maturalne.

Trzywyrazowy ciąg \((15, 3x, \frac{5}{3})\) jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że:

A. \(x=\frac{3}{5}\)

B. \(x=\frac{4}{5}\)

C. \(x=1\)

D. \(x=\frac{5}{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 129 - maturalne.

Dany jest ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{(5-2n)}{6}\) dla \(n\geq 1\). Ciąg ten jest

A. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-\frac{1}{3}\).

B. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-2\).

C. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=-\frac{1}{3}\).

D. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=\frac{5}{6}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 130 - maturalne.

Dla ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest spełniony warunek \(a_4+a_5+a_6=12\). Wtedy

A. \(a_5=4\)

B. \(a_5=3\)

C. \(a_5=6\)

D. \(a_5=5\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 131 - maturalne.

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\), w którym \(a_1=\sqrt{2}, a_2=2\sqrt{2}, a_3=4\sqrt{2}\). Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać

A. \(a_n=(\sqrt{2})^n\)

B. \(a_n=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\)

C. \(a_n=(\frac{\sqrt{2}}{2})^n\)

D. \(a_n=\frac{(\sqrt{2})^n}{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 132 - maturalne.

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 133 - maturalne.

Liczby \(a, b, c\), spełniające warunek \(3a+b+3c=77\), są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg \((a, b+1, 2c)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\) oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 134 - maturalne.

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są dwa wyrazy: \(a_1= 7 i a_8=−49\). Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

A. -168

B. -189

C. -21

D. -42

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 135 - maturalne.

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek \(\frac{a_5}{a_3}=\frac{1}{9}\). Iloraz tego ciągu jest równy:

A. \(\frac{1}{3}\)

B. \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

C. \(3\)

D. \(\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 136 - maturalne.

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Różnicą tego ciągu jest liczba \(r=−4\), a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\) jest równa 16.

a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

b) Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_{k}=−78\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 137 - maturalne.

Ciąg \((a, b, c)\) jest geometryczny, ciąg \((a+1, b+5, c)\) jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz \(a+b+c=39\). Oblicz \(a, b, c\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 138 - maturalne.

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2n^2\) dla \(n\geq 1\). Różnica \(a_5-a_4\) jest równa

A. \(4\)

B. \(20\)

C. \(36\)

D. \(18\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 139 - maturalne.

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5. Suma \(a_1+a_2+a_3+a_4\) jest równa

A. \(-42\)

B. \(-36\)

C. \(-18\)

D. \(6\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 140 - maturalne.

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(6a_1-5a_2+a_3= 0\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu należący do przedziału \(\langle 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}\rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 141 - maturalne.

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Granica tego ciągu jest równa

A. \(3\).

B. \(\frac{1}{5}\).

C. \(\frac{3}{5}\).

D. \(-\frac{5}{11}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 142 - maturalne.

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym \((a_1, a_2, a_3)\) spełniona jest równość \(a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4}\). Wyrazy \(a_1, a_2, a_3\) są — odpowiednio — czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a_1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 143 - maturalne.

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 cm2. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

zadanie maturalne 15, matura rozszerzona 2020

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 144 - maturalne.

Oblicz granicę

Zadanie 5, matura 2021.

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po
przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Rys

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 145 - maturalne.

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m3. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów.

Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
– 100 zł za 1 m2 dna
– 75 zł za 1 m2 ściany bocznej.

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 146 - maturalne.

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{2n^2-30n}{n}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Wtedy \(a_7\) jest równy

A. (-196)

B. (-32)

C. (-26)

D. (-16)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 147 - maturalne.

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), \(a_5=-31\) oraz \(a_{10}=−66\). Różnica tego ciągu jest równa

A. (-7)

B. (-19,4)

C. 7

D. 19,4

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 148 - maturalne.

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), są dodatnie i \(9a_5=4a_3\). Wtedy iloraz tego ciągu jest równy

A. \(\frac{2}{3}\)

B. \(\frac{3}{2}\)

C. \(\frac{2}{9}\)

D. \(\frac{9}{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 149 - maturalne.

W ciągu arytmetycznym \(a_n\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), \(a_1=-1\) i \(a_4=8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 150 - maturalne.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 2\). Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu \(x=\frac{1}{2}\) jest równa

A. \(\frac{3}{4}\)

B. \(\frac{9}{4}\)

C. 3

D. \(\frac{54}{8}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 151 - maturalne.

Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) wzorem \(a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p}\), gdzie \(p\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość \(p\), dla której granica ciągu \(a_n\) jest równa \(\frac{4}{3}\). W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

kratki

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 152 - maturalne.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.

a) Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(b\) ramienia, wyraża się wzorem \(P(b)=\frac{(18-2b)\cdot \sqrt{18b-81}}{2}\).

b) Wyznacz dziedzinę funkcji \(P)\.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 153.

Obliczyć całkę oznaczoną:

a) \(\displaystyle\int_{0}^{1}xdx\)

b) \(\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{1}{x^2}dx\)

c) \(\displaystyle\int_{0}^{1}2^xdx\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 154 - maturalne.

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2^n\cdot (n+1)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wyraz \(a_4\) jest równy

A. 64

B. 40

C. 48

D. 80

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 155 - maturalne.

Trzywyrazowy ciąg \((27,9,a-1)\) jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(a\) jest równa

A. 3

B. 0

C. 4

D. 2

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 156 - maturalne.

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł. Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 157 - maturalne.

W chwili początkowej (\(t=0\)) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej \(t\geq 0\) funkcja \(m(t)\) określa masę substancji w gramach po \(t\) pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji \(m(t)\). Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od \(1,5\) grama. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 158 - maturalne.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{3x^2-2x}{x^2+2x+8}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Punkt \(P=(x_0,3)\) należy do wykresu funkcji \(f\). Oblicz \(x_0\) oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 159 - maturalne.

Określamy kwadraty \(K_1, K_2, K_3, ...\) następująco:
• \(K_1\) jest kwadratem o boku długości \(a\).
• \(K_2\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
• \(K_3\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_2\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 2\)

• \(K_n\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_n-1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Zadanie 10, matura 2023, matematyka rozszerzona

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 160 - maturalne.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) dla każdej liczby dodatniej \(x\).

1. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) wyrażenie \(81^{\log_3{x}}+\frac{2\cdot\log_2 {\sqrt{7}}\cdot \log_3{2}}{3}\cdot x^2-6x\) można równoważnie przekształcić do postaci \(x^4+x^2-6x\).

2. Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby dodatniej \(x\). Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci \(f(x)=x^4+x^2-6x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.





Liczba odnalezionych zadań w zbiorze: 160.

Oznaczenia

zadanie maturalne Zadania maturalne — poziom podstawowy. zadanie maturalne Zadania maturalne — poziom rozszerzony.

Zbiór zadań z matematyki
Zbiór wszystkich zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami.
AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.
Analiza matematyczna
Analiza matematyczna jest to dziedzina matematyki, która powstała na bazie rachunku różniczkowego i całkowego, zajmująca się oprócz wcześniej wymienionych rachunków badaniem granic ciągów i funkcji, szeregów.

 



Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.