Zadania — granica i ciągłość funkcji
Znajdziesz tutaj zadania z granic i ciągłości funkcji. To zadania z rozwiązaniami. Są tu zadania autorskie oraz maturalne na poziomie podstawowym i rozszerzonym z kilku ostatnich lat.
Zadanie nr 1.
Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{\frac{x^2-9}{x+3}}\).
Zadanie nr 2.
Oblicz korzystając z definicji Heinego \(\displaystyle\lim_{x\to 5}{(x+\frac{x-1}{x+1})}\).
Zadanie nr 3.
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to -3}{(\frac{x^2-9}{x+3})}=-6\).
Zadanie nr 4.
Wykazać na podstawie definicji Cauchy'ego, że \(\displaystyle\lim_{x\to 2}{(5x-7)}=3\).
Zadanie nr 5.
Wykazać, że funkcja \(f(x)=\frac{x^2-|x|}{2x}\) nie ma granicy w punkcie 0.
Zadanie nr 8.
Obliczyć:
a) \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{\frac{2x^3-x^2+3x-1}{2-x^3}}\)
b) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}{\frac{3x^3+3x-1}{7-x^5}}\)
Zadanie nr 9.
Obliczyć \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}{(x^3-x^8+x^2-1)}\).
Zadanie nr 10.
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:
a) \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\) w punkcie \(x_0=2\).
b) \(f(x)=\frac{x-7}{x^2-9}\) w punkcie \(x_0=-3\).
Zadanie nr 11.
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:
a) \(f(x)=\frac{x+2}{x-1}\) w punkcie \(x_0=1\).
b) \(f(x)=\frac{2}{x^2}\) w punkcie \(x_0=0\).
Zadanie nr 12.
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji \(f(x)=\frac{x+|x|}{x}\) w punkcie \(x_0=0\).
Zadanie nr 13.
Obliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji
\(f(x)=\begin{cases} 5x-x^2+1, \ dla \ x>-1 \\ 5-x, \ dla \ x< -1 \end{cases}\)
w punkcie \(x_0=-1\).
Zadanie nr 14.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x-5}{1-x^3}}\).
Zadanie nr 15.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{3x}}{x}}\).
Zadanie nr 16.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to -1}{\frac{x^4-1}{x^2-1}}\).
Zadanie nr 17.
Obliczyć granicę funkcji \(\displaystyle\lim_{x\to 0}{\frac{\sin^2{4x}}{\sin^2{2x}}}\).
Zadanie nr 18.
Zbadać, czy funkcja \(f(x)=\begin{cases} -2x, \ dla \ x \leq 0 \\ x^2, \ dla \ x > 0 \end{cases}\) jest ciągła w punkcie \(x_0=0\).
Zadanie nr 19.
Dla jakich wartości parametru \(a\) funkcja \(f(x)=\begin{cases} 2x^2-a, \ dla \ x \geq 1 \\ x-1, \ dla \ x < 1 \end{cases}\) jest ciągła w punkcie \(x_0=1\)?
Zadanie nr 20.
Sprawdzić, czy funkcja \(f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+x-6}{x-2}, \ dla \ x\in(-\infty;2) \\5, \ dla\ x=2 \\ 3x-1, \ dla \ x\in (2;\infty) \end{cases}\) jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.
Zadanie nr 21.
Sprawdzić, czy funkcja \(f(x)=|x+1|-x\) jest ciągła w punkcie \(x_0=-1\).
Zadanie nr 22 - maturalne.
Granica \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}\). Wynika stąd, że
A. \(p=-8\)
B. \(p=4\)
C. \(p=2\)
D. \(p=-2\)
Liczba odnalezionych zadań w zbiorze: 22.
Oznaczenia
Zadania maturalne — poziom podstawowy.
Zadania maturalne — poziom rozszerzony.
