Zadania — matura 2018, matematyka, poziom podstawowy

Zadanie nr 1 - maturalne.

Liczba \(2\log_3{6}-\log_3{4}\) jest równa:

1. \(4\)
2. \(2\)
3. \(2\log_3{2}\)
4. \(\log_3{8}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 - maturalne.

Liczba \(\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot \sqrt[3]{\frac{81}{56}}\) jest równa:

1. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
2. \(\frac{3}{2\sqrt[3]{21}}\)
3. \(\frac{3}{2}\)
4. \(\frac{9}{4}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 - maturalne.

Dane są liczby \(a=3,6⋅10^{-12}\) oraz \(b=2,4⋅10^{-20}\). Wtedy iloraz \(\frac{a}{b}\) jest równy:

1. \(8,64⋅10^{−32}\)
2. \(1,5⋅10^{−8}\)
3. \(1,5⋅10^{8}\)
4. \(8,64⋅10^{32}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 - maturalne.

Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed tą obniżką rower ten kosztował

1. 865,00 zł
2. 850,15 zł
3. 1000,00 zł
4. 977,50 zł

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 - maturalne.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{(1-2x)}{2}>\frac{1}{3}\) jest przedział:

1. \((-\infty;\frac{1}{6})\)
2. \((-\infty;\frac{2}{3})\)
3. \((\frac{1}{6};+\infty)\)
4. \((\frac{2}{3};+\infty)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 - maturalne.

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem \(f(x)=-2(x+3)(x-5)\). Liczby \(x_1, x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(f\). Zatem

1. \(x_1+x_2=-8\)
2. \(x_1+x_2=-2\)
3. \(x_1+x_2=2\)
4. \(x_1+x_2=8\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 - maturalne.

Równanie \(\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0\) ma:

A. ma trzy rozwiązania \(x=-2, x=0, x=2\)

B. ma dwa rozwiązania \(x=0, x=2\)

C. ma dwa rozwiązania \(x=-2, x=2\)

D. ma jedno rozwiązanie \(x=0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 - maturalne.

Funkcja liniowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{1}{3}x-1\), dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż zdanie prawdziwe.

1. Funkcja \(f\) jest malejąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,\frac{1}{3})\).
2. Funkcja \(f\) jest malejąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,-1)\).
3. Funkcja \(f\) jest rosnąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,\frac{1}{3})\).
4. Funkcja \(f\) jest rosnąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,-1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 - maturalne.

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2−6x−3\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

1. \((-6,-3)\)
2. \((-6,69)\)
3. \((3,-12)\)
4. \((6,-3)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 - maturalne.

Liczba \(1\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\), a punkt \(M=(3,−2)\) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik \(a\) we wzorze tej funkcji jest równy

1. \(1\)
2. \(\frac{3}{2}\)
3. \(-\frac{3}{2}\)
4. \(-1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 - maturalne.

Dany jest ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{(5-2n)}{6}\) dla \(n\geq 1\). Ciąg ten jest

A. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-\frac{1}{3}\).

B. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-2\).

C. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=-\frac{1}{3}\).

D. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=\frac{5}{6}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 - maturalne.

Dla ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest spełniony warunek \(a_4+a_5+a_6=12\). Wtedy

A. \(a_5=4\)

B. \(a_5=3\)

C. \(a_5=6\)

D. \(a_5=5\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13 - maturalne.

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\), w którym \(a_1=\sqrt{2}, a_2=2\sqrt{2}, a_3=4\sqrt{2}\). Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać

A. \(a_n=(\sqrt{2})^n\)

B. \(a_n=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\)

C. \(a_n=(\frac{\sqrt{2}}{2})^n\)

D. \(a_n=\frac{(\sqrt{2})^n}{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 14 - maturalne.

Przyprostokątna \(LM\) trójkąta prostokątnego \(KLM\) ma długość \(3\), a przeciwprostokątna \(KL\) ma długość \(8\) (zobacz rysunek).

Wówczas miara α kąta ostrego LMK tego trójkąta spełnia warunek

1. 27°<α≤30°
2. 24°<α≤27°
3. 21°<α≤24°
4. 18°<α≤21°

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 15 - maturalne.

Dany jest trójkąt o bokach długości: \(2\sqrt{5}, 3\sqrt{5}. 4\sqrt{5}\). Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości:

A. \(10, 15, 20\)

B. \(20, 45, 80\)

C. \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\)

D. \(\sqrt{5}, 2\sqrt{5}, 3\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 16 - maturalne.

Dany jest okrąg o środku \(S\). Punkty \(K, L\) i \(M\) leżą na tym okręgu. Na łuku \(KL\) tego okręgu są oparte kąty \(KSL\) i \(KML\) (zobacz rysunek), których miary \(\alpha\) i \(\beta\), spełniają warunek \(\alpha +\beta=111°\). Wynika stąd, że

A. \(\alpha=74°\)

B. \(\alpha=76°\)

C. \(\alpha=70°\)

D. \(\alpha=72°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 17 - maturalne.

Dany jest trapez prostokątny \(KLMN\), którego podstawy mają długości \(KL=a, MN=b,
a>b\). Kąt \(KLM\) ma miarę 60°. Długość ramienia \(LM\) tego trapezu jest równa:

A. \(a-b\)

B. \(2(a-b)\)

C. \(a+\frac{b}{2}\)

D. \((a+b)/2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 18 - maturalne.

Średnicą okręgu jest odcinek \(KL\), gdzie \(K=(6,8)\), \(L=(−6, − 8)\). Równanie tego okręgu ma postać

A. \(x^2+y^2=200\)

B. \(x^2+y^2=100\)

C. \(x^2+y^2=400\)

D. \(x^2+y^2=300\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 19 - maturalne.

Proste o równaniach \(y=(m+2)x+3\) oraz \(y=(2m−1)x−3\) są równoległe, gdy

A. \(m=2\)

B. \(m=3\)

C. \(m=0\)

D. \(m=1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 20 - maturalne.

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(KLMN\) o boku długości \(4\). Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź \(NS\), a jej długość też jest równa \(4\) (zobacz rysunek).

Kąt \(\alpha\), jaki tworzą krawędzie \(KS\) i \(MS\), spełnia warunek

1. \(\alpha=45°\)
2. \(45°<\alpha <60°\)
3. \(\alpha >60°\)
4. \(\alpha =60°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 21 - maturalne.

Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 45° (zobacz rysunek).

Wysokość graniastosłupa jest równa

1. \(5\)
2. \(3\sqrt{2}\)
3. \(5\sqrt{2}\)
4. \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 22 - maturalne.

Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa \(r\) i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.

Objętość tej bryły jest równa

A. \(\frac{5}{3\pi r^3}\)

B. \(\frac{4}{3\pi r^3}\)

C. \(\frac{2}{3\pi r^3}\)

D. \(\frac{1}{3\pi r^3}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 23 - maturalne.

W zestawie \(2, 2, 2, ..., 2, 4, 4, 4, ..., 4\) liczb jest \(2m\) liczb (\(m\geq 1\)) , w tym \(m\) liczb \(2\) i \(m\) liczb \(4\). Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

D. \(\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 24 - maturalne.

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych niż 2018 i podzielnych przez 5?

1. 402
2. 403
3. 203
4. 204

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 25 - maturalne.

W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe

1. \(\frac{15}{35}\)
2. \(\frac{1}{50}\)
3. \(\frac{15}{30}\)
4. \(\frac{35}{50}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 26 - maturalne.

Rozwiąż nierówność \(2x^2−3x>5\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 27 - maturalne.

Rozwiąż równanie \(x^3−7x^2−4x+28=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 28 - maturalne.

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność.

\(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq \frac{2}{a+b}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 29 - maturalne.

Okręgi o środkach odpowiednio \(A\) i \(B\) są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku \(A\) jest równy 2.

Uzasadnij, że promień okręgu o środku \(B\) jest mniejszy od \(\sqrt{2}-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 30 - maturalne.

Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=a^x\) (gdzie \(a>0\) i \(a\neq 1\), należy punkt \(P=(2,9)\). Oblicz a i zapisz zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem \(g(x)=f(x)−2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 31 - maturalne.

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 32 - maturalne.

W układzie współrzędnych punkty \(A=(4,3)\) i \(B=(10,5)\) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=2x+3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 33 - maturalne.

Dane są dwa zbiory: \(A = \lbrace 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700\rbrace \) i \(B = \lbrace 10,11,12,13,14,15,16\rbrace \). Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez \(3\). Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 34 - maturalne.

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(45\sqrt{3}\). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania.