Zadania — matura 2018, matematyka, poziom rozszerzony

Zadania maturalne z roku 2018 z matematyki - poziom rozszerzony. Są to zadania z arkuszy egzaminacyjnych wraz z rozwiązaniami.

Zadanie nr 1 - maturalne.

Rozwiąż równanie $3 | x + 2 | = | x - 3 | + 11$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 - maturalne.

Liczby $a, b, c$ , spełniające warunek $3 a + b + 3 c = 77$ , są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg $(a, b + 1, 2 c)$ jest geometryczny. Wyznacz liczby $a, b, c$ oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 - maturalne.

Dany jest czworokąt wypukły $A B C D$ , w którym $| A D | = | A B | = | B C | = a$ , $| ∠ B A D | = 60 °$ i $| ∠ A D C | = 135 °$ . Oblicz pole czworokąta $A B C D$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 - maturalne.

Z liczb ośmioelementowego zbioru $Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}$ tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy nie powtarzają się. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 - maturalne.

Trójkąt $A B C$ jest ostrokątny oraz $| A C | > | B C |$ . Dwusieczna $d_{C}$ kąta $A C B$ przecina bok $A B$ w punkcie $K$ . Punkt $L$ jest obrazem punktu $K$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_{A}$ kąta $B A C$ , punkt $M$ jest obrazem punktu $L$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_{C}$ kąta $A C B$ , a punkt $N$ jest obrazem punktu $M$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_{B}$ kąta $A B C$ (zobacz rysunek).

rysunek

Udowodnij, że na czworokącie $K N M L$ można opisać okrąg.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 - maturalne.

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej $k$ i dla każdej liczby całkowitej $m$ liczba $k^{3} m - k m^{3}$ jest podzielna przez $6$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 - maturalne.

Rozwiąż równanie $2 \cos^{2} x + 3 \sin x = 0$ w przedziale $⟨ - \frac{π}{2}; \frac{3 π}{2} ⟩$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 - maturalne.

Liczba $\frac{2}{5}$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x) = 5 x^{3} - 7 x^{2} - 3 x + p$ . Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność $W (x) > 0$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 - maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^{2} + (m + 1) x - m^{2} + 1 = 0$ ma dwa rozwiązania rzeczywiste $x_{1}$ i $x_{2}$ $(x_{1} \neq x_{2})$ , spełniające warunek $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} > - 7 x_{1} x_{2}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 - maturalne.

Punkt $A = (7, - 1)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $A B C$ , w którym $| A C | = | B C |$ . Obie współrzędne wierzchołka $C$ są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie $x^{2} + y^{2} = 10$ . Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 - maturalne.

Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego $A B C S$ płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek S i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.