Zadania — matura 2019, matematyka, poziom podstawowy
Zadania maturalne z roku 2019 z matematyki - poziom podstawowy. Są to zadania z arkuszy egzaminacyjnych wraz z rozwiązaniami.
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 1 - maturalne.
W trapezie prostokątnym \(ABCD\) dłuższa podstawa \(AB\) ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej \(BD\) tego trapezu.
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 2 - maturalne.
Dany jest punkt \(A=(−18,10)\). Prosta o równaniu \(y=3x\) jest symetralną odcinka \(AB\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\).
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 3 - maturalne.
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Różnicą tego ciągu jest liczba \(r=−4\), a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\) jest równa 16.
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_{k}=−78\).
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 4 - maturalne.
Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt \(\alpha\) jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta \(\alpha\).
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 5 - maturalne.
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek \(\frac{a_5}{a_3}=\frac{1}{9}\). Iloraz tego ciągu jest równy:
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
C. \(3\)
D. \(\sqrt{3}\)
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 6 - maturalne.
Sinus kąta ostrego \(\alpha\) jest równy \(\frac{4}{5}\). Wtedy
A. \(\cos{\alpha}=\frac{5}{6}\)
B. \(\cos{\alpha}=\frac{1}{5}\)
C. \(\cos{\alpha}=\frac{9}{25}\)
D. \(\cos{\alpha}=\frac{3}{5}\)
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 7 - maturalne.
Punkty \(D\) i \(E\) leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym \(ABC\) (zobacz rysunek). Odcinek \(CD\) jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany \(DEB\) ma miarę \(\alpha\).
A. \(\alpha=30°\)
B. \(\alpha<30°\)
C. \(\alpha>45°\)
D. \(\alpha=45°\)
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 8 - maturalne.
Promień \(AS\) podstawy walca jest równy połowie wysokości \(OS\) tego walca. Sinus kąta \(OAS\) (zobacz rysunek) jest równy
A. \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
B. \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(1\)
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 10 - maturalne.
Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest
A. 12
B. 36
C. 162
D. 243
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 11 - maturalne.
W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe
A. \(\frac{1}{8}\)
B. \(\frac{1}{5}\)
C. \(\frac{1}{40}\)
D. \(\frac{1}{35}\)
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 12 - maturalne.
Mediana zestawu sześciu danych liczb \(4, 8, 21, a, 16, 25\) jest równa \(14\). Zatem
A. \(a=7\)
B. \(a=12\)
C. \(a=14\)
D. \(a=20\)
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 13 - maturalne.
Dany jest okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(r\). Na przedłużeniu cięciwy \(AB\) poza punkt \(B\) odłożono odcinek \(BC\) równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty \(C\) i \(S\) poprowadzono prostą. Prosta \(CS\) przecina dany okrąg w punktach \(D\) i \(E\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta \(ACS\) jest równa \(\alpha\), to miara kąta \(ASD\) jest równa \(3\alpha\).
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 14 - maturalne.
Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 16 - maturalne.
Proste o równaniach \(y=(2m+2)x−2019\) oraz \(y=(3m−3)x+2019\) są równoległe, gdy
A. \(m=-1\)
B. \(m=0\)
C. \(m=1\)
D. \(m=5\)
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 17 - maturalne.
Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(5\) oraz okrąg o środku w punkcie \(P\) i promieniu \(3\). Odcinek \(OP\) ma długość \(16\). Prosta \(AB\) jest styczna do tych okręgów w punktach \(A\) i \(B\). Ponadto prosta \(AB\) przecina odcinek \(OP\) w punkcie \(K\) (zobacz rysunek).
Wtedy
A. \(|OK|=6\)
B. \(|OK|=8\)
C. \(|OK|=10\)
D. \(|OK|=12\)
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 18 - maturalne.
Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe
A. 8
B. 12
C. \(8\sqrt{3}\)
D. 16
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 19 - maturalne.
Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest prostopadła do prostej o równaniu \(y=− 4x+1\) i przechodzi przez punkt \(P=(\frac{1}{2},0)\), gdy
A. \(a=-4\) i \(b=-2\)
B. \(a=\frac{1}{4}\) i \(b=-\frac{1}{8}\)
C. \(a=-4\) i \(b=2\)
D. \(a=\frac{1}{4}\) i \(b=\frac{1}{2}\)
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 20 - maturalne.
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji leżą punkty \(A=(0,4)\) i \(B=(2,2)\).
Obrazem prostej \(AB\) w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji \(g\) określonej wzorem
A. \(g(x)=x+4\)
B. \(g(x)=x-4\)
C. \(g(x)=-x-4\)
D. \(g(x)=-x+4\)
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 21 - maturalne.
Dane są punkty o współrzędnych \(A=(−2, 5)\) oraz \(B=(4, −1)\). Średnica okręgu wpisanego
w kwadrat o boku \(AB\) jest równa
A. \(12\)
B. \(6\)
C. \(6\sqrt{2}\)
D. \(2\sqrt{6}\)
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 22 - maturalne.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(3a^2−2ab+3b^2\geq 0\).
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 23 - maturalne.
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.
Miara kąta SAC jest równa
A. 90°
B. 75°
C. 60°
D. 45°
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 24 - maturalne.
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), dane są dwa wyrazy: \(a_1= 7 i a_8=−49\). Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A. -168
B. -189
C. -21
D. -42
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 25 - maturalne.
Liczba \(\log_{\sqrt{2}}2\) jest równa
A. \(2\)
B. \(4\)
C. \(\sqrt{2}\)
D. \(\frac{1}{2}\)
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 26 - maturalne.
Liczba naturalna \(n=2^{14}\cdot 5^{15}\) w zapisie dziesiętnym ma
A. 14 cyfr
B. 15 cyfr
C. 16 cyfr
D. 30 cyfr
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 27 - maturalne.
W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o
A. 1%
B. 25%
C. 33%
D. 75%
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 28 - maturalne.
Równość \(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{a}=1\) jest prawdziwa dla
A. \(a=\frac{11}{20}\)
B. \(a=\frac{8}{9}\)
C. \(a=\frac{9}{8}\)
D. \(a=\frac{20}{11}\)
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 29 - maturalne.
Para liczb \(x=2\) i \(y=2\) jest rozwiązaniem układu równań
\(\begin{cases} ax+y=5\\-2x+3y=2a\end{cases}\)
dla:
A. \(a=-1\)
B. \(a=1\)
C. \(a=-2\)
D. \(a=2\)
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 30 - maturalne.
Równanie \((x-1)(x+2)/(x-3)=0\)
A. ma trzy różne rozwiązania: \(x=1, x=3, x=-2\).
B. ma trzy różne rozwiązania: \(x=-1, x=-3, x=2\).
C. ma dwa różne rozwiązania: \(x=1, x=-2\).
D. ma dwa różne rozwiązania: \(x=-1, x=2\).
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 31 - maturalne.
Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=3(x+1)−6\sdqrt{3}\) jest liczba
A. \(3−6\sqrt{3}\)
B. \(1−6\sqrt{3}\)
C. \(2\sqrt{3}-1\)
D. \(2\sqrt{3}-\frac{1}{3}\)
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
Zadanie nr 32 - maturalne.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(2,− 4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).
Zadanie 8: Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział
A. \((-\infty ,0\rangle \)
B. \(\langle 0, 4\rangle \)
C. \(\langle -4, +\infty)\)
D. \(\langle 4, +\infty)\)
Zadanie 9: Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 1, 4\rangle \) jest równa
A. \(-3\)
B. \(-4\)
C. \(4\)
D. \(0\)
Zadanie 10: Osią symetrii wykresu funkcji \(f\) jest prosta o równaniu
A. \(x=-4\)
B. \(x=-4\)
C. \(y=2\)
D. \(x=2\)
Liczba odnalezionych zadań w zbiorze: 32.
Oznaczenia
![zadanie maturalne](grafika/matura-1.png)
![zadanie maturalne](grafika/matura-r-1.png)
![AI](matematyka/grafika/matura-z-matematyki-1.jpg)
![arkusze maturalne CKE z matematyki](matematyka/grafika/arkusze-CKE.jpg)
Źródło: Centralna Komisja Egzaminacyjna