Zadania — matura 2019, matematyka, poziom rozszerzony

Zadanie nr 1 - maturalne.

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt \(M (M\neq A, M\neq C)\), a na ramieniu \(BC\) wybrano punkt \(N\), w taki sposób, że \(|AM| = |CN|\). Przez punkty \(M\) i \(N\) poprowadzono proste prostopadłe do podstawy \(AB\) tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty \(S\) i \(T\). Udowodnij, że \(|ST| = 1/2|AB|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 - maturalne.

Punkt \(D\) leży na boku \(AB\) trójkąta \(ABC\) oraz \(|AC|=16, |AD|=6, |CD|=14\) i \(|BC|=|BD|\). Oblicz obwód trójkąta \(ABC\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 - maturalne.

Ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy kolejno ze zwracaniem trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie spośród trzech wylosowanych liczb będą równe. Wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 - maturalne.

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\), takich że \(x<y\) , i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(a\) prawdziwa jest nierówność:

\(\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 - maturalne.

Funkcja \(f\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq −2\) wzorem:

\(f(x)=\frac{|x+2|}{x+2}-x+3|x-1|\)

Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 - maturalne.

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt \(ABCD\), którego boki mają długości \(|AB|=32\) i \(|BC|=18\). Ściany boczne \(ABS\) i \(CDS\) są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem \(\alpha\). Ściany boczne \(BCS\) i \(ADS\) są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\beta\) . Miary kątów \(\alpha\) i \(\beta\) spełniają warunek: \(\alpha+\beta=90°\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 - maturalne.

Ciąg \((a, b, c)\) jest geometryczny, ciąg \((a+1, b+5, c)\) jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz \(a+b+c=39\). Oblicz \(a, b, c\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 - maturalne.

Dane są okręgi o równaniach \(x^2+y^2−12x−8y+43=0\) i \(x^2+y^2−2ax+4y+a^2−77=0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 - maturalne.

Wielomian określony wzorem \(W(x)=2x^3+(m^3+2)x^2−11x−2(2m+1)\) jest podzielny przez dwumian \((x−2)\) oraz przy dzieleniu przez dwumian \((x+1)\) daje resztę 6. Oblicz \(m\) oraz pierwiastki wielomianu \(W\) dla wyznaczonej wartości \(m\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 - maturalne.

Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\sin{x}+1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 - maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=(2m +1)x^2+(m+2)x+m−3\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \((x_1- x_2)^2+5x_1x_2 \geq 1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.