Zadania — matura 2020, matematyka, poziom rozszerzony

Zadanie nr 1 - maturalne.

Wielomian W określony wzorem \(W(x)=x^{2019}−3x^{2000}+2x+6\)

A. jest podzielny przez \((x−1)\) i z dzielenia przez \((x+1)\) daje resztę równą \(6\).

B. jest podzielny przez \((x+1)\) i z dzielenia przez \((x−1)\) daje resztę równą \(6\).

C. jest podzielny przez \((x−1)\) i jest podzielny przez \((x+1)\.

D. nie jest podzielny ani przez \((x−1)\), ani przez \((x+1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2 - maturalne.

Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego \((x\sqrt{2}+y\sqrt{3})^4\) do postaci \(ax^4+bx^3y+cx^2y^2+dxy^3+ey^4\) współczynnik \(c\) jest równy

A. \(6\)

B. \(36\)

C. \(8\sqrt{6}\)

D. \(12\sqrt{6}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3 - maturalne.

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|=6\), a punkt \(D\) jest środkiem podstawy \(AB\). Okrąg o środku \(D\) jest styczny do prostej \(AC\) w punkcie \(M\). Punkt \(K\) leży na boku \(AC\), punkt \(L\) leży na boku \(BC\), odcinek \(KL\) jest styczny do rozważanego okręgu oraz \(|KC|=|LC|=2\) (zobacz rysunek).

Wykaż, że \(\frac{|AM|}{|MC|}=\frac{4}{5}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 - maturalne.

Rozwiąż równanie \(3\cos{2x}+10 \cos^2{x}=24\sin{x}−3\) dla \(x\in \langle 0, 2\pi\rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 - maturalne.

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym \((a_1, a_2, a_3)\) spełniona jest równość \(a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4}\). Wyrazy \(a_1, a_2, a_3\) są — odpowiednio — czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a_1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 - maturalne.

Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 - maturalne.

Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez \(ABCD (AB||CD)\). Ramiona tego trapezu mają długości \(AD=10\) i \(BC=16\), a miara kąta \(ABC\) jest równa 30°. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α, taki, że \(tg\alpha =\frac{9}{2}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 - maturalne.

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Granica tego ciągu jest równa

A. \(3\).

B. \(\frac{1}{5}\).

C. \(\frac{3}{5}\).

D. \(-\frac{5}{11}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 - maturalne.

Mamy dwie urny. W pierwszej są 3 kule białe i 7 kul czarnych, w drugiej jest jedna kula biała i 9 kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę z jednym oczkiem, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku — losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

A. 2/15

B. 1/5

C. 4/5

D. 13/5

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 - maturalne.

W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) jest 3 razy dłuższy od boku \(AC\), a długość boku BC stanowi \(\frac{4}{5}\) długości boku \(AB\). Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta \(ABC\).

W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 - maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których równanie \(|x−5|=(a−1)^2−4\) ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 - maturalne.

Liczby dodatnie \(a\) i \(b\) spełniają równość \(a^2+2a=4b^2+4b\). Wykaż, że \(a=2b\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13 - maturalne.

Dane jest równanie kwadratowe \(x^2−(3m+2)x+2m^2+7m−15=0\) z niewiadomą \(x\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których różne rozwiązania \(x_1\) i \(x_2\)tego równania istnieją i spełniają warunek \(2x^2_1+5x_1x_2+2x^2_2=2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 14 - maturalne.

Prosta o równaniu \(x+y−10=0\) przecina okrąg o równaniu \(x^2+y^2−8x−6y+8=0\) w punktach \(K\) i \(L\). Punkt \(S\) jest środkiem cięciwy \(KL\). Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku \(S\) i skali \(k=−3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 15 - maturalne.

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 cm². Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

Pokaż rozwiązanie zadania.