Zadania — przekształcenia geometryczne

Zadanie nr 1.

Znaleźć równanie symetralnej odcinka $\overline{AB}$, gdzie $A=(1,4),B=(-2,1)$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Środki boków tego trójkąta dzielą dany trójkąt na mniejsze części. Wykaż, że wszystkie mniejsze trójkąty są przystające i są trójkątami równobocznymi.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Znaleźć równanie dwusiecznej kątów wyznaczonych przez proste o równaniach $y=-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}$ i $y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć obraz okręgu i trapezu na prostą $a$ w kierunku prostej $k$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Obrazem kwadratu w rzucie równoległym na prostą $a$ jest jego przekątna. Znaleźć kierunek rzutowania.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Znaleźć obraz punktu $P=(0,2)$ w rzucie równoległym na oś $OX$ w kierunku prostej $y=2x-3$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Znaleźć obraz punktu $P=(2,3)$ w rzucie prostokątnym na prostą $y=-x+2$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Znaleźć obraz okręgu $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=4$ w rzucie prostokątnym na prostą $y=x$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Znaleźć obraz kwadratu w rzucie prostokątnym na prostą przechodzącą przez środki dwóch sąsiadujących boków.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10.

Znaleźć obraz kwadratu w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez środki dwóch sąsiadujących boków tego kwadratu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11.

Znaleźć obraz trójkąta prostokątnego w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez tylko jeden z wierzchołków trójkąta równoległej do przyprostokątnej tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12.

Znaleźć obraz trójkąta $ABC$, gdzie $A=(-2,3),B=(2,4),C=(2,-2)$ w symetrii osiowej względem osi $OX$ i $OY$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13.

Znaleźć obraz krzywej $y=3x^2-2x+1$ w symetrii osiowej względem osi $OX$ i $OY$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 14.

Znaleźć obraz okręgu $(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=4$ w symetrii osiowej względem osi $OY$. Sporządź odpowiednie wykresy w układzie współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 15.

Znaleźć oś symetrii trójkąta $ABC$, gdzie $A=(1,1),B=(5,1),C=(3,3)$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 16.

Znaleźć obraz trójkąta równobocznego w symetrii środkowej względem dowolnego wierzchołka tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 17.

Znaleźć obraz kwadratu w przekształceniu będącym złożeniem czterech symetrii środkowych względem kolejnych wierzchołków tego kwadratu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 18.

Znaleźć obraz trójkąta $BC$ w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych, jeżeli $A=(-2,3),B=(5,3),C=(0,7)$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 19.

Znaleźć obraz krzywej $y=x^3-x^2$ w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 20.

Znaleźć obraz kwadratu $ABCD$, gdzie $A=(1,1),B=(2,3),C=(4,2),D=(3,0)$ w translacji o wektor $\overrightarrow{w}=[-2,-1]$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 21.

Znaleźć obraz krzywej $y=-x^2+x-1$ w translacji o wektor $\overrightarrow{w}=[-2,1]$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 22.

Obrazem punktu $P=(7,-3)$ w translacji o wektor $\overrightarrow{w}$ jest punkt $P^{\prime }=(-3,7)$. Znaleźć współrzędne wektora translacji.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 23.

Znaleźć obraz punktu $P=(2,4)$ w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt $30°$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 24.

Znaleźć obraz krzywej $y=x^3$ w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt $90°$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 25.

Znaleźć obraz prostej $y=-2x+6$ w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt $60°$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 26.

Znaleźć obraz kwadratu w jednokładności o środku w jednym z wierzchołków tego kwadratu i skali $k=2$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 27.

Znaleźć obraz trójkąta prostokątnego w jednokładności o środku w punkcie, który jest środkiem przeciwprostokątnej tego trójkąta i skali $k=-\frac{1}{2}$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 28.

Znaleźć obraz odcinka $\overline{AB}$, gdzie $A=(-1,2),B=(-2,-3)$ w jednokładności o środku w początku układu współrzędnych i skali $k=3$. Zilustrować to przekształcenie w układzie współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 29.

Znaleźć obraz krzywej $y=x^2$ w jednokładności o środku w początku układu współrzędnych i skali $k=\frac{1}{2}$. Zilustrować to przekształcenie w układzie współrzędnych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 30.

Znaleźć obraz wykresu funkcji $y=|x|$ w obrocie dookoła początku układu współrzędnych o kąt $45°$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 31 - maturalne.

Przedstawione na rysunku trójkąty $ABC$ i $PQR$ są podobne. Bok $AB$ trójkąta $ABC$ ma długość

A. 8

B. 8,5

C. 9,5

D. 10

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 32 - maturalne.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$. Na przyprostokątnych $AC$ i $AB$ tego trójkąta obrano odpowiednio punkty $D$ i $G$. Na przeciwprostokątnej $BC$ wyznaczono punkty $E$ i $F$ takie, że $|\mathrm{\angle }DEC|=|\mathrm{\angle }BGF|=90°$ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt $CDE$ jest podobny do trójkąta $FBG$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 33 - maturalne.

Dany jest prostokąt $ABCD$. Okrąg wpisany w trójkąt $BCD$ jest styczny do przekątnej $BD$ w punkcie $N$. Okrąg wpisany w trójkąt $ABD$ jest styczny do boku $AD$ w punkcie $M$, a środek $S$ tego okręgu leży na odcinku $MN$, jak na rysunku.

Wykaż, że $|MN|=|AD|$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 34 - maturalne.

Dane są punkty $M=(-2,1),N=(-1,3)$. Punkt $K$jest środkiem odcinka $MN$. Obrazem punktu $K$ w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt:

A. $K^{\prime }=(2,-\frac{3}{2})$

B. $K^{\prime }=(2,\frac{3}{2})$

C. $K^{\prime }=(\frac{3}{2},2)$

D. $K^{\prime }=(\frac{3}{2},-2)$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 35 - maturalne.

Dwusieczne czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: $P,Q,R,S$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że na czworokącie $PQRS$ można opisać okrąg.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 36 - maturalne.

Jeżeli trójkąty $ABC$ i $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm² i 50 cm², to skala podobieństwa $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}$ jest równa:

A. $2$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\sqrt{2}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 37 - maturalne.

W trójkącie $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$, a punkt $E$ leży na boku $AB$. Odcinek $DE$ jest równoległy do boku $AC$, a ponadto $|BD|=10,|BC|=12$ i $|AC|=24$ (zobacz rysunek).

A. $m=22$

B. $m=20$

C. $m=12$

D. $m=11$

Długość odcinka DE jest równa

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 38 - maturalne.

Dany jest trójkąt o bokach długości: $2\sqrt{5},3\sqrt{5}.4\sqrt{5}$. Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości:

A. $10,15,20$

B. $20,45,80$

C. $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}$

D. $\sqrt{5},2\sqrt{5},3\sqrt{5}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 39 - maturalne.

Trójkąt $ABC$ jest ostrokątny oraz $|AC|>|BC|$. Dwusieczna $d_C$ kąta $ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $K$. Punkt $L$ jest obrazem punktu $K$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_A$ kąta $BAC$, punkt $M$ jest obrazem punktu $L$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_C$ kąta $ACB$, a punkt $N$ jest obrazem punktu $M$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_B$ kąta $ABC$ (zobacz rysunek).

Udowodnij, że na czworokącie $KNML$ można opisać okrąg.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 40 - maturalne.

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $5$ oraz okrąg o środku w punkcie $P$ i promieniu $3$. Odcinek $OP$ ma długość $16$. Prosta $AB$ jest styczna do tych okręgów w punktach $A$ i $B$. Ponadto prosta $AB$ przecina odcinek $OP$ w punkcie $K$ (zobacz rysunek).

Wtedy

A. $|OK|=6$

B. $|OK|=8$

C. $|OK|=10$

D. $|OK|=12$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 41 - maturalne.

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji leżą punkty $A=(0,4)$ i $B=(2,2)$.

Obrazem prostej $AB$ w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji $g$ określonej wzorem

A. $g(x)=x+4$

B. $g(x)=x-4$

C. $g(x)=-x-4$

D. $g(x)=-x+4$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 42 - maturalne.

Punkt B jest obrazem punktu $A=(-3,5)$ w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka $AB$ jest równa

A. $2\sqrt{34}$

B. $8$

C. $\sqrt{34}$

D. $12$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 43 - maturalne.

Trójkąt $ABC$ jest równoboczny. Punkt $E$ leży na wysokości $CD$ tego trójkąta oraz $|CE|=\frac{3}{4}|CD|$. Punkt $F$ leży na boku $BC$ i odcinek $EF$ jest prostopadły do $BC$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że $|CF|=\frac{9}{16}|CB|$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 44 - maturalne.

Prosta o równaniu $x+y-10=0$ przecina okrąg o równaniu $x^2+y^2-8x-6y+8=0$ w punktach $K$ i $L$. Punkt $S$ jest środkiem cięciwy $KL$. Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku $S$ i skali $k=-3$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 45 - maturalne.

Trójkąt równoboczny $ABC$ ma pole równe $9\sqrt{3}$. Prosta równoległa do boku $BC$ przecina boki $AB$ i $AC$ — odpowiednio — w punktach $K$ i $L$. Trójkąty $ABC$ i $AKL$ są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy $\frac{3}{2}$. Oblicz długość boku trójkąta $AKL$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 46 - maturalne.

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Dwusieczna kąta $BAC$ przecina bok $BC$ w takim punkcie $D$, że trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta $BAC$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 47 - maturalne.

Trójkąty prostokątne $T_1$ i $T_2$ są podobne. Przyprostokątne trójkąta $T_1$ mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta $T_2$ ma długość 26. Oblicz pole trójkąta $T_2$. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.