Zadanie - odległość początku układu współrzędnych od okręgu

Treść zadania:

Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu \((x-3)^2+(y-3)^2=4\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Równanie okręgu wyraża się wzorem:

\((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\)
gdzie \(O(p,q)\) jest środkiem okręgu o promieniu r.

Zgodnie z powyższym równaniem okręgu mamy tutaj do czynienia z okręgiem o środku w punkcie \(O(3,3)\) i promieniem \(r=2\).

\((x-3)^2+(y-3)^2=4=2^2\)

Odległość punktu od niepustej figury jest to długość promienia największego otoczenia kołowego tego punktu, wewnątrz którego nie znajduje się żaden punkt ten figury. Na wspólnym rysunku zaznaczamy nasz okrąg oraz otoczenie środka układu współrzędnych spełniające powyższy warunek.

Okregi w układzie współrzędnych

Metoda 1

Przytoczona tutaj metoda rozwiązania jest bardziej skomplikowana od metody drugiej, pokazuje jednak, w jaki sposób sobie radzić przy wyznaczaniu odległości punktu od dowolnej figury.

Szukamy długości promienia otoczenia, oznaczonego na rysunku literą z. Aby to uczynić, musimy znaleźć współrzędne punktu A. Zauważamy, że punkt A leży na prostej, łączącej początek układu współrzędnych oraz środek okręgu \(O(3,3)\). Prosta ta ma równanie \(y=x\).

Jeżeli nie wiesz dlaczego prosta ta ta takie równanie poniżej znajduje się wyjaśnienie:


Ogólne równanie prostej jest następujące: \(y=ax+b\). Wiemy, że prosta przechodzi przez punkty \((0,0)\) oraz \((3,3)\). Podstawiamy do równania prostej współrzędne jednego punktu oraz drugiego i rozwiązujemy układ równań:

\(\begin{cases} 0=a\cdot 0+b\\ 3=a\cdot 3+b\end{cases}\)

\(\begin{cases} b=0\\ 3=3a/:3\end{cases} \)

\(\begin{cases} b=0\\ a=1 \end{cases}\)

Zatem \(y=x\)


Punkt A jest wspólny dla prostej \(y=x\) oraz naszego okręgu. Aby znaleźć współrzędne punktów wspólnych obu figur musimy rozwiązać układ równań, stosując metodę podstawienia:

\(\begin{cases} (x-3)^2+(y-3)^2=4\\ y=x\end{cases}\)

\(\begin{cases} (x-3)^2+(x-3)^2=4\\ y=x\end{cases}\)

\(\begin{cases} 2(x-3)^2=4/:2\\ y=x\end{cases}\)

\(\begin{cases} (x-3)^2=2\\ y=x\end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2-6x+9-2=0\\ y=x\end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2-6x+7=0\\ y=x\end{cases}\)


Mamy do czynienia z równaniem kwadratowym. Obliczmy więc wyróżnik trójmianu kwadratowego i wyznaczamy pierwiastki:

\(x^2-6x+7=0\)

\(a=1\)

\(b=-6\)

\(c=7\)

\(\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 7=36-28=8\)

\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}\)

\(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-6)-2\sqrt{2}}{2}=\frac{2(3-\sqrt{2})}{2}=3-\sqrt{2}\approx 1,59\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-6)+2\sqrt{2}}{2}=\frac{2(3+\sqrt{2})}{2}=3+\sqrt{2}\approx 4,41\)

Wracamy do naszego układu równań. Równanie ma dwa rozwiązania, więc otrzymujemy dwa układy równań:

\(\begin{cases} x_1=3-\sqrt{2}\\ y_1=x_1\end{cases} \ \ \vee \ \ \begin{cases} x_2=3+\sqrt{2}\\ y_2=x_2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x_1=3-\sqrt{2}\\ y_1=3-\sqrt{2}\end{cases} \ \ \vee \ \ \begin{cases} x_2=3+\sqrt{2}\\ y_2=3+\sqrt{2} \end{cases}\)

Otrzymaliśmy więc współrzędne punktów przecięcia prostej z okręgiem: (3-\sqrt{2},3-\sqrt{2}) oraz (3+\sqrt{2},3+\sqrt{2})

Pierwszy z punktów, to punkt \(A\) uwidoczniony na rysunku. Drugi z punktów (po drugiej stronie okręgu) nas nie interesuje. Musimy więc obliczyć odległość miedzy początkiem układu współrzędnych i punktem A. Skorzystamy ze wzoru na odległość punktów \(A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B)\) w układzie współrzędnych:

\(z=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

Obliczamy odległość między punktami o współrzędnych: \((0,0), (3-\sqrt{2}, 3-\sqrt{2})\). Korzystamy z powyższego wzoru:

\(z=\sqrt{(3-\sqrt{2})^2+(3-\sqrt{2})^2}=\sqrt{2(3-\sqrt{2})}=\sqrt{2}(3-\sqrt{2})=3\sqrt{2}-2\)

Metoda 2

Istnieje inny - łatwiejszy sposób rozwiązania tego zadania. Zauważamy, że:

\(z=|OP|-r\)

Promień okręgu \(r=2\), natomiast odległość początku układu współrzędnych od punktu O obliczymy na podstawie przytoczonego wyżej wzoru.

\(O=(3,3)\)

\(P=(0,0)\)

\(|OP|=\sqrt{(3-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{2\cdot 3^2}=3\sqrt{2}\)

\(z=3\sqrt{2}-2\)

ksiązki Odpowiedź

\(z=3\sqrt{2}-2\)

© medianauka.pl, 2010-12-30, ZAD-1063

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Jaka jest odległość między różnymi punktami \(A, B\), jeżeli \(|AC|=4, |BC|=5\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć odległość punktu \(A=(-3,4)\) od prostej o równaniu \(y=-2x+2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć odległość punktu \(M=(1,2)\) od trójkąta wyznaczonego przez punkty \(A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej \(y=3x+2\) jest równa \(\sqrt{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Dane są punkty \(A=(\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}), \ B=(\frac{1}{\sqrt{2}}, 3\sqrt{2}+1)\). Obliczyć odległość \(|AB|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Oblicz odległość punktu \(P=(3,2)\) od prostej \(3x+4y-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Oblicz odległość punktu \(P=(-1,1)\) od prostej \(y=2x-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

ilustracja do zadania 13 , matura 2016W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału

A. \(\langle \frac{9}{2};\frac{11}{2}\rangle\)

B. \(\langle \frac{11}{2};\frac{13}{2}\rangle\)

C. \(\langle \frac{13}{2};\frac{19}{2}\rangle\)

D. \(\langle \frac{19}{2};\frac{37}{2}\rangle\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa

A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)

B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)

C. \(\frac{4}{5}\)

D. \(4\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Punkt \(A=(7,−1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie \(x^2+y^2=10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8, −6)\) i \(B=(5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.