Zadanie - odległość punktu od prostej

Treść zadania:

Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej \(y=3x+2\) jest równa \(\sqrt{2}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Odległość punktu od prostej równa jest odległości tego punktu od rzutu prostokątnego na tę prostą. Punkty równoodległe od prostej będą się układały w prostą równoległą do danej prostej (proste nie mogą mieć punktów wspólnych, gdyż odległość dowolnego punktu szukanej prostej od danej prostej jest zawsze taka sama). Ilustruje to poniższy rysunek.

współrzędne punktów, których odległość od prostej y=3x+2 jest równa \sqrt{2}

Z rysunku widać, że powyższy warunek będą spełniać dwie proste (zaznaczone przerywaną różową linią). Szukamy równań tych prostych. W tym celu obieramy dowolny punkt P na danej prostej \(y=3x+2\). W naszym przypadku niech to będzie punkt o współrzędnych \((0,2)\). Punkt ten spełnia równanie prostej (2=3·0+2). Kreślimy prostą prostopadłą do danej prostej przechodzącej przez punkt \(P\) i wyznaczamy obrazy tego punktu w rzucie prostokątnym na szukane proste. Otrzymujemy w ten sposób punktu \(P_1\)i P_2\). Odległość d zaznaczona na rysunku jest dana i wynosi \(\sqrt{2}\)

Oznaczenia:

Prosta szukana, przechodząca przez punkt \(P_1\)(kolor różowy) - \(y=a_1x+b_1\)
Prosta szukana, przechodząca przez punkt \(P_2\)(kolor różowy) - \(y=a_2x+b_2\)
Prosta wyznaczona przez punkty \(P, P_1i P_2\)(kolor szary) - \(y=a_3x+b _3\)

1) Szukamy równania prostej \(y=a_3x+b_3\)

Skorzystamy z własności prostych prostopadłych. Ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:

\(a_I=-\frac{1}{a_{II}}\)

Szukana prosta jest prostopadła do prostej \(y=3x+2\). Mamy więc:

\(a_3=-\frac{1}{3}\)

\(y=-\frac{1}{3}x+b_3\)

Wiemy, że prosta przechodzi przez punkt \(P=(0,2)\). Podstawiamy do równania prostej współrzędne punktu i rozwiązujemy równanie:

\(2=-\frac{1}{3}\cdot 0+b_3\)

\(b_3=2\)

\(y=-\frac{1}{3}x+2\)

2) Szukamy równań szukanych prostych.

Współczynniki kierunkowe szukanych prostych będą takie same jak współczynnik kierunkowy danej prostej, gdyż proste te są równoległe. Szukane proste przyjmują więc równania:

\(y=3x+b_1\)

\(y=3x+b_2\)

Musimy wyznaczyć więc wyrazy \(b_1\)oraz \(b_2\). Aby to uczynić, wystarczy znaleźć współrzędne dowolnego punktu prostej. Poszukamy współrzędnych punktu \(P_2\).

Skorzystamy ze wzoru na odległość punktów \(A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B)\) w układzie współrzędnych:

\(|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

Obliczamy odległość między punktami o współrzędnych:\(P=(0,2), P_1=(x, y)\). Korzystamy z powyższego wzoru:

\(|PP_1|=\sqrt{2}=\sqrt{(x-0)^2+(y-2)^2}\)

\(\sqrt{2}=\sqrt{x^2+(y-2)^2}\)

\(2=x^2+(y-2)^2\)

Wiemy, że przez punkt \(P_2\)przechodzi prosta \(y=-\frac{1}{3}x+2\). Wstawiamy ją więc do wyznaczonego wcześniej równania, aby znaleźć współrzędne punktu \(P_2\).

\(\begin{cases}2=x^2+(y-2)^2\\ y=-\frac{1}{3}x+2 \end{cases}\)

\(2=x^2+(-\frac{1}{3}x+2-2)^2\\ 2=x^2+(-\frac{1}{3}x)^2\)

\(2=x^2+\frac{1}{9}x^2\)

\(\frac{10}{9}x^2-2=0/\cdot \frac{9}{10}\)

\(x^2-\frac{9}{5}=0\)

\((x-\sqrt{\frac{9}{5}})(x+\sqrt{\frac{9}{5}})=0\)

\((x-\frac{3}{\sqrt{5}})(x+\frac{3}{\sqrt{5}})=0\)

\((x-\frac{3\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}})(x+\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}})=0\)

\((x-\frac{3\sqrt{5}}{5})(x+\frac{3\sqrt{5}}{5})=0\)

\(x_1=\frac{3\sqrt{5}}{5} \ \vee \ x_2=-\frac{3\sqrt{5}}{5}\\ y_1=-\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{5}}{5}+2=-\frac{\sqrt{5}}{5}+2\)

\(y_2=-\frac{1}{3}\cdot (-\frac{3\sqrt{5}}{5})+2=\frac{\sqrt{5}}{5}+2\) />


Rozwiązując powyższy układ równań otrzymaliśmy współrzędne punktu \(P_1\):

\(P_1=(-\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2+\frac{\sqrt{5}}{5})\)

Podstawiamy współrzędne tego punktu do szukanego równania prostej:

\(y=3x+b_1\)

\(P_1=(-\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2+\frac{\sqrt{5}}{5})\)

\(2+\frac{\sqrt{5}}{5}=3\cdot (-\frac{3\sqrt{5}}{5})+b1\)

\(b_1=2+\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{9\sqrt{5}}{5}\)

\(b_1=2+2\sqrt{5}\)

\(y=3x+2+2\sqrt{5}\)

oraz współrzędne punktu \(P_2\):

\(P_2=(\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2-\frac{\sqrt{5}}{5})\)

Podstawiamy współrzędne tego punktu do szukanego równania prostej:

\(y=3x+b_2\)

\(P_2=(\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2-\frac{\sqrt{5}}{5})\)

\(2-\frac{\sqrt{5}}{5}=3\cdot \frac{3\sqrt{5}}{5}+b2\)

\(b_2=2-2\sqrt{5}\)

\(y=3x+2-2\sqrt{5}\)

ksiązki Odpowiedź

Współrzędne punktów, które są odległe od prostej \(y=3x+2\) o \(\sqrt{2}\) są następujące: \((x, 3x+2-2\sqrt{5})\) oraz \((x, 3x+2+2\sqrt{5})\)

© medianauka.pl, 2011-01-02, ZAD-1066

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Jaka jest odległość między różnymi punktami \(A, B\), jeżeli \(|AC|=4, |BC|=5\)?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu \((x-3)^2+(y-3)^2=4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Obliczyć odległość punktu \(A=(-3,4)\) od prostej o równaniu \(y=-2x+2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Obliczyć odległość punktu \(M=(1,2)\) od trójkąta wyznaczonego przez punkty \(A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Dane są punkty \(A=(\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}), \ B=(\frac{1}{\sqrt{2}}, 3\sqrt{2}+1)\). Obliczyć odległość \(|AB|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Oblicz odległość punktu \(P=(3,2)\) od prostej \(3x+4y-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Oblicz odległość punktu \(P=(-1,1)\) od prostej \(y=2x-1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

ilustracja do zadania 13 , matura 2016W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału

A. \(\langle \frac{9}{2};\frac{11}{2}\rangle\)

B. \(\langle \frac{11}{2};\frac{13}{2}\rangle\)

C. \(\langle \frac{13}{2};\frac{19}{2}\rangle\)

D. \(\langle \frac{19}{2};\frac{37}{2}\rangle\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa

A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)

B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)

C. \(\frac{4}{5}\)

D. \(4\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Punkt \(A=(7,−1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie \(x^2+y^2=10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8, −6)\) i \(B=(5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.