Zadanie - odległość punktu od prostej
Treść zadania:
Znaleźć współrzędne punktów, których odległość od prostej \(y=3x+2\) jest równa \(\sqrt{2}\).
Rozwiązanie zadania
Odległość punktu od prostej równa jest odległości tego punktu od rzutu prostokątnego na tę prostą. Punkty równoodległe od prostej będą się układały w prostą równoległą do danej prostej (proste nie mogą mieć punktów wspólnych, gdyż odległość dowolnego punktu szukanej prostej od danej prostej jest zawsze taka sama). Ilustruje to poniższy rysunek.
Z rysunku widać, że powyższy warunek będą spełniać dwie proste (zaznaczone przerywaną różową linią). Szukamy równań tych prostych. W tym celu obieramy dowolny punkt P na danej prostej \(y=3x+2\). W naszym przypadku niech to będzie punkt o współrzędnych \((0,2)\). Punkt ten spełnia równanie prostej (2=3·0+2). Kreślimy prostą prostopadłą do danej prostej przechodzącej przez punkt \(P\) i wyznaczamy obrazy tego punktu w rzucie prostokątnym na szukane proste. Otrzymujemy w ten sposób punktu \(P_1\)i P_2\). Odległość d zaznaczona na rysunku jest dana i wynosi \(\sqrt{2}\)
Oznaczenia:
Prosta szukana, przechodząca przez punkt \(P_1\)(kolor różowy) - \(y=a_1x+b_1\)Prosta szukana, przechodząca przez punkt \(P_2\)(kolor różowy) - \(y=a_2x+b_2\)
Prosta wyznaczona przez punkty \(P, P_1i P_2\)(kolor szary) - \(y=a_3x+b _3\)
1) Szukamy równania prostej \(y=a_3x+b_3\)
Skorzystamy z własności prostych prostopadłych. Ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:
\(a_I=-\frac{1}{a_{II}}\)Szukana prosta jest prostopadła do prostej \(y=3x+2\). Mamy więc:
\(a_3=-\frac{1}{3}\)
\(y=-\frac{1}{3}x+b_3\)
Wiemy, że prosta przechodzi przez punkt \(P=(0,2)\). Podstawiamy do równania prostej współrzędne punktu i rozwiązujemy równanie:
\(2=-\frac{1}{3}\cdot 0+b_3\)
\(b_3=2\)
\(y=-\frac{1}{3}x+2\)
2) Szukamy równań szukanych prostych.
Współczynniki kierunkowe szukanych prostych będą takie same jak współczynnik kierunkowy danej prostej, gdyż proste te są równoległe. Szukane proste przyjmują więc równania:
\(y=3x+b_1\)
\(y=3x+b_2\)
Musimy wyznaczyć więc wyrazy \(b_1\)oraz \(b_2\). Aby to uczynić, wystarczy znaleźć współrzędne dowolnego punktu prostej. Poszukamy współrzędnych punktu \(P_2\).
Skorzystamy ze wzoru na odległość punktów \(A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B)\) w układzie współrzędnych:
\(|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)Obliczamy odległość między punktami o współrzędnych:\(P=(0,2), P_1=(x, y)\). Korzystamy z powyższego wzoru:
\(|PP_1|=\sqrt{2}=\sqrt{(x-0)^2+(y-2)^2}\)
\(\sqrt{2}=\sqrt{x^2+(y-2)^2}\)
\(2=x^2+(y-2)^2\)
Wiemy, że przez punkt \(P_2\)przechodzi prosta \(y=-\frac{1}{3}x+2\). Wstawiamy ją więc do wyznaczonego wcześniej równania, aby znaleźć współrzędne punktu \(P_2\).
\(\begin{cases}2=x^2+(y-2)^2\\ y=-\frac{1}{3}x+2 \end{cases}\)
\(2=x^2+(-\frac{1}{3}x+2-2)^2\\ 2=x^2+(-\frac{1}{3}x)^2\)
\(2=x^2+\frac{1}{9}x^2\)
\(\frac{10}{9}x^2-2=0/\cdot \frac{9}{10}\)
\(x^2-\frac{9}{5}=0\)
\((x-\sqrt{\frac{9}{5}})(x+\sqrt{\frac{9}{5}})=0\)
\((x-\frac{3}{\sqrt{5}})(x+\frac{3}{\sqrt{5}})=0\)
\((x-\frac{3\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}})(x+\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}})=0\)
\((x-\frac{3\sqrt{5}}{5})(x+\frac{3\sqrt{5}}{5})=0\)
\(x_1=\frac{3\sqrt{5}}{5} \ \vee \ x_2=-\frac{3\sqrt{5}}{5}\\ y_1=-\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{5}}{5}+2=-\frac{\sqrt{5}}{5}+2\)
\(y_2=-\frac{1}{3}\cdot (-\frac{3\sqrt{5}}{5})+2=\frac{\sqrt{5}}{5}+2\) />
Rozwiązując powyższy układ równań otrzymaliśmy współrzędne punktu \(P_1\):
\(P_1=(-\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2+\frac{\sqrt{5}}{5})\)
Podstawiamy współrzędne tego punktu do szukanego równania prostej:
\(y=3x+b_1\)
\(P_1=(-\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2+\frac{\sqrt{5}}{5})\)
\(2+\frac{\sqrt{5}}{5}=3\cdot (-\frac{3\sqrt{5}}{5})+b1\)
\(b_1=2+\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{9\sqrt{5}}{5}\)
\(b_1=2+2\sqrt{5}\)
\(y=3x+2+2\sqrt{5}\)
oraz współrzędne punktu \(P_2\):
\(P_2=(\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2-\frac{\sqrt{5}}{5})\)
Podstawiamy współrzędne tego punktu do szukanego równania prostej:
\(y=3x+b_2\)
\(P_2=(\frac{3\sqrt{5}}{5}, 2-\frac{\sqrt{5}}{5})\)
\(2-\frac{\sqrt{5}}{5}=3\cdot \frac{3\sqrt{5}}{5}+b2\)
\(b_2=2-2\sqrt{5}\)
\(y=3x+2-2\sqrt{5}\)
Odpowiedź
Współrzędne punktów, które są odległe od prostej \(y=3x+2\) o \(\sqrt{2}\) są następujące: \((x, 3x+2-2\sqrt{5})\) oraz \((x, 3x+2+2\sqrt{5})\)© medianauka.pl, 2011-01-02, ZAD-1066
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Jaka jest odległość między różnymi punktami \(A, B\), jeżeli \(|AC|=4, |BC|=5\)?
Zadanie nr 2.
Obliczyć odległość początku układu współrzędnych od okręgu o równaniu \((x-3)^2+(y-3)^2=4\).
Zadanie nr 3.
Obliczyć odległość punktu \(A=(-3,4)\) od prostej o równaniu \(y=-2x+2\).
Zadanie nr 4.
Obliczyć odległość punktu \(M=(1,2)\) od trójkąta wyznaczonego przez punkty \(A=(-1,0), B=(5,-1), C=(1,-3)\).
Zadanie nr 5.
Dane są punkty \(A=(\frac{\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}), \ B=(\frac{1}{\sqrt{2}}, 3\sqrt{2}+1)\). Obliczyć odległość \(|AB|\).
Zadanie nr 6.
Oblicz odległość punktu \(P=(3,2)\) od prostej \(3x+4y-1=0\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
W okręgu o środku w punkcie \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która utworzyła z promieniem \(AS\) kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału
A. \(\langle \frac{9}{2};\frac{11}{2}\rangle\)
B. \(\langle \frac{11}{2};\frac{13}{2}\rangle\)
C. \(\langle \frac{13}{2};\frac{19}{2}\rangle\)
D. \(\langle \frac{19}{2};\frac{37}{2}\rangle\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu \(y = 2x + 4\) jest równa
A. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
B. \(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)
C. \(\frac{4}{5}\)
D. \(4\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
Punkt \(A=(7,−1)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Obie współrzędne wierzchołka \(C\) są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ABC ma równanie \(x^2+y^2=10\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.
Zadanie nr 11 — maturalne.
Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8, −6)\) i \(B=(5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.