Zadanie - zastosowanie twierdzenia Talesa
Treść zadania:
Dane są odcinki o długościach: \(a, b, c\). Opisać sposób konstrukcji odcinka \(d\) o długości:
a) \(d=\frac{ab}{c}\)
b) \(d=\frac{b^2}{a}\)
Rozwiązanie zadania uproszczone
a)![Twierdzenie Talesa](matematyka/grafika/rysunek208.jpg)
![Twierdzenie Talesa](matematyka/grafika/rysunek209.jpg)
Rozwiązanie zadania ze szczegółowymi wyjaśnieniami
a) Korzystamy z twierdzenia Talesa. Przekształcamy jednak najpierw wyrażenie tak, aby otrzymać stosunki długości, przy czym warto, aby szukana długość d znalazła się w mianowniku ułamka.
![d=\frac{ab}{c}/\cdot \frac{c}{bd}\\ \frac{c}{b}=\frac{a}{d}](matematyka/wzory/zad558/3.gif)
Korzystamy teraz z Twierdzenia Talesa. Na jednym ramieniu kąta odkładamy kolejno odcinki o długościach c i b, na drugim ramieniu kąta odkładamy odcinek o długości a, a następnie kreślimy prostą łączącą końce odcinków o długościch c i a. Następnie kreślimy prostą równoległą przechodzącą przez koniec odcinka o długości b. Prosta ta na drugim ramieniu kąta odkłada nam szukany odcinek o długości d. Ilustruje to poniższy rysunek:
![Twierdzenie Talesa](matematyka/grafika/rysunek208.jpg)
b) Podobnie postępujemy i tutaj. Inna jest tylko zależność między długościami odcinków:
![d=\frac{b^2}{a}/\cdot \frac{a}{bd}\\ \frac{a}{b}=\frac{b}{d}](matematyka/wzory/zad558/4.gif)
![Twierdzenie Talesa](matematyka/grafika/rysunek209.jpg)
Odpowiedź
![a)|AC|=64, \ b)|CD|=9](matematyka/wzory/zad558/5.gif)
© medianauka.pl, 2011-01-07, ZAD-1083
![AI](matematyka/grafika/matura-z-matematyki-1.jpg)
![Zbiór zadań z matematyki](matematyka/grafika/zbior-zadan-1.jpg)
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Podstawy trapezu mają długości 5 i 9, a ramiona 5 i \(\sqrt{41}\). Obliczyć obwód trójkąta utworzonego z podstawy trapezu i przedłużenia ramion tego trapezu.
Zadanie nr 2.
Prosta równoległa do boku \(AB\) trójkąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) w punkcie \(D\) oraz bok \(BC\) w punkcie \(E\). Obliczyć:
a) \(|AC|\), jeżeli \(|CD|=32, |CE|=24,|BC|=48\)>
b) \(|CD|\), jeżeli \(|CE|=6, |BE|=10, |AC|=24\)
![zadanie maturalne](grafika/matura-r-1.png)
Zadanie nr 3 — maturalne.
Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|=6\), a punkt \(D\) jest środkiem podstawy \(AB\). Okrąg o środku \(D\) jest styczny do prostej \(AC\) w punkcie \(M\). Punkt \(K\) leży na boku \(AC\), punkt \(L\) leży na boku \(BC\), odcinek \(KL\) jest styczny do rozważanego okręgu oraz \(|KC|=|LC|=2\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że \(\frac{|AM|}{|MC|}=\frac{4}{5}\).