Zadanie - złoty podział odcinka

Treść zadania:

Rozwiązanie zadania

Złoty podział odcinka jest to podział odcinka na takie dwie części, że mniejsza do większej ma się tak, jak większa część do długości całego odcinka.

Wprowadźmy oznaczenia jak na poniższym rysunku:

Zgodnie ze złotym podziałem następujące stosunku długości są równe:

$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$

$\frac{a}{b}=1+\frac{b}{a}$

Jeżeli nie pamiętamy wartości złotego podziału, można wykonać następujące rachunki. Oznaczmy stosunek $a:b$ przez grecką literę $\phi$. Otrzymujemy równanie:

$\phi =1+\frac{1}{\phi }$

$\frac{{\phi }^2}{\phi }-\frac{\phi }{\phi }-\frac{1}{\phi }=0$

$\frac{{\phi }^2-\phi -1}{\phi }=0$

${\phi }^2-\phi -1=0$

$a=1$

$b=-1$

$c=-1$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-1)=5$

${\phi }_1==\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$

${\phi }_2==\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618$

Pierwszy pierwiastek jest ujemny, nie może więc stanowić złotego podziału (stosunek odległości jest zawsze liczbą dodatnią). Drugi pierwiastek jest tak zwaną złotą liczbą, która dzieli odcinek na dwa odcinki będące ze sobą w złotym podziale.

Nasz odcinek ma długość 10. Aby znaleźć jego złoty podział, wystarczy podzielić go przez liczbę $\phi$

$a=10/\phi \approx 10/1.618\approx 6,18$

$b=10-a\approx 3,82$

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2011-01-08, ZAD-1085

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne