Zadanie - pole powierzchni wielokąta foremnego
Treść zadania:
W okrąg o promieniu \(R=10\) wpisano ośmiokąt foremny. Jaki promień ma okrąg, w który wpisano sześciokąt foremny o takim samym polu powierzchni co ośmiokąt foremny.
Rozwiązanie zadania
Pole powierzchni ośmiokąta foremnego wyraża się wzorem:
gdzie a jest długością boku ośmiokąta foremnego. Promień okręgu opisanego na ośmiokącie foremnym wyraża się wzorem:
Dany jest promień okręgu opisanego na ośmiokącie foremnym, dzięki czemu możemy obliczyć długość boku. To z kolei umożliwi nam obliczenie pola powierzchni ośmiokąta foremnego, które jest niezbędne przy szukaniu danych dotyczących sześciokąta, o którym mowa w zadaniu. Dany jest promień \(R\):
\(R=10\)
\(\frac{a}{\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2}}=10/\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)
\(a=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)
Możemy przystąpić do wyznaczenia pola ośmiokąta foremnego:
\(a^2(1+\sqrt{2})\)
\(P=2(\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}})^2(1+\sqrt{2})\)
\(P=2\cdot \frac{10^2\cdot 2}{2+\sqrt{2}}(1+\sqrt{2}) \)
\(P=\frac{400}{2+\sqrt{2}}(1+\sqrt{2})\)
Pozbywamy się niewymierności z mianownika
\(P=\frac{400\cdot (2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})\cdot (2-\sqrt{2})}(1+\sqrt{2})\)
\(P=\frac{400\cdot (2-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}{2^2-(\sqrt{2})^2}\)
\(P=\frac{400\cdot (2+2\sqrt{2}-\sqrt{2}-2)}{2^4-2}\)
\(P=\frac{400\sqrt{2}}{2}\)
\(P=200\sqrt{2}\)
Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym jest równy długości jego boku, natomiast wzór na pole sześciokąta foremnego jest następujący:
Znamy już pole powierzchni (oba pola obu figur mają być równe), więc wyznaczymy długość boku sześciokąta, która jest jednocześnie szukaną długością promienia okręgu.
\(P_{sz}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{2}/ \cdot 2\)
\( 3a^2\sqrt{3}=400\sqrt{2}/ :3\sqrt{3} \)
\(a^2=\frac{400\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
\(a^2=\frac{400\sqrt{6}}{9}\)
\(a=\sqrt{\frac{400\sqrt{6}}{9}}\)
\(a=\frac{20}{3}\sqrt{\sqrt{6}}\)
\(a=\frac{20}{3}\sqrt[4]{6}\)
\(R_{sz}=a=\frac{20}{3}\sqrt[4]{6}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-01-12, ZAD-1095
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć pole sześciokąta foremnego, którego bok ma długość 3.
Zadanie nr 2.
Pole sześciokąta foremnego jest równe \(\sqrt{3}\). Obliczyć obwód tego sześciokąta.
Zadanie nr 3.
Pole powierzchni ośmiokąta foremnego jest równe 2. Obliczyć długość promienia okręgu wpisanego w ten ośmiokąt.
Zadanie nr 4.
Obliczyć miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) n-kąta foremnego.
Zadanie nr 5.
Miara kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) pewnego wielokąta foremnego jest równa 162°. Ile boków ma ten wielokąt?
Zadanie nr 7.
W koło o promieniu \(r\) wpisano kwadrat. Oblicz pole figury, która stanowi różnicę tego koła i kwadratu?