Zadanie - pole powierzchni wielokąta foremnego

Treść zadania:

W okrąg o promieniu \(R=10\) wpisano ośmiokąt foremny. Jaki promień ma okrąg, w który wpisano sześciokąt foremny o takim samym polu powierzchni co ośmiokąt foremny.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Pole powierzchni ośmiokąta foremnego wyraża się wzorem:

\(P=2a^2(1+\sqrt{2})\)

gdzie a jest długością boku ośmiokąta foremnego. Promień okręgu opisanego na ośmiokącie foremnym wyraża się wzorem:

\(R=\frac{a}{\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2}}\)

Dany jest promień okręgu opisanego na ośmiokącie foremnym, dzięki czemu możemy obliczyć długość boku. To z kolei umożliwi nam obliczenie pola powierzchni ośmiokąta foremnego, które jest niezbędne przy szukaniu danych dotyczących sześciokąta, o którym mowa w zadaniu. Dany jest promień \(R\):

\(R=10\)

\(\frac{a}{\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2}}=10/\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)

\(a=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)

Możemy przystąpić do wyznaczenia pola ośmiokąta foremnego:

\(a^2(1+\sqrt{2})\)

\(P=2(\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}})^2(1+\sqrt{2})\)

\(P=2\cdot \frac{10^2\cdot 2}{2+\sqrt{2}}(1+\sqrt{2}) \)

\(P=\frac{400}{2+\sqrt{2}}(1+\sqrt{2})\)

Pozbywamy się niewymierności z mianownika

\(P=\frac{400\cdot (2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})\cdot (2-\sqrt{2})}(1+\sqrt{2})\)

\(P=\frac{400\cdot (2-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}{2^2-(\sqrt{2})^2}\)

\(P=\frac{400\cdot (2+2\sqrt{2}-\sqrt{2}-2)}{2^4-2}\)

\(P=\frac{400\sqrt{2}}{2}\)

\(P=200\sqrt{2}\)

Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym jest równy długości jego boku, natomiast wzór na pole sześciokąta foremnego jest następujący:

\(P_{sz}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\)

Znamy już pole powierzchni (oba pola obu figur mają być równe), więc wyznaczymy długość boku sześciokąta, która jest jednocześnie szukaną długością promienia okręgu.

\(P_{sz}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{2}/ \cdot 2\)

\( 3a^2\sqrt{3}=400\sqrt{2}/ :3\sqrt{3} \)

\(a^2=\frac{400\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)

\(a^2=\frac{400\sqrt{6}}{9}\)

\(a=\sqrt{\frac{400\sqrt{6}}{9}}\)

\(a=\frac{20}{3}\sqrt{\sqrt{6}}\)

\(a=\frac{20}{3}\sqrt[4]{6}\)

\(R_{sz}=a=\frac{20}{3}\sqrt[4]{6}\)

ksiązki Odpowiedź

\(R_{sz}=\frac{20}{3}\sqrt[4]{6}\)

© medianauka.pl, 2011-01-12, ZAD-1095

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Obliczyć pole sześciokąta foremnego, którego bok ma długość 3.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Pole sześciokąta foremnego jest równe \(\sqrt{3}\). Obliczyć obwód tego sześciokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Pole powierzchni ośmiokąta foremnego jest równe 2. Obliczyć długość promienia okręgu wpisanego w ten ośmiokąt.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Obliczyć miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) n-kąta foremnego.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Miara kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) pewnego wielokąta foremnego jest równa 162°. Ile boków ma ten wielokąt?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Ile wynosi miara kąta zewnętrznego w ośmiokącie foremnym?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

W koło o promieniu \(r\) wpisano kwadrat. Oblicz pole figury, która stanowi różnicę tego koła i kwadratu?

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.