Zadanie - wielokąt foremny, kąt wewnętrzny
Treść zadania:
Miara kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) pewnego wielokąta foremnego jest równa 162°. Ile boków ma ten wielokąt?
Rozwiązanie zadania
Przeanalizujmy dowolny n-kąt foremny. Szukamy kąta \(\alpha\). Na podstawie rysunku widać, że
\(\alpha=2\gamma\)
Gdy podzielimy wielokąt foremny na trójkąty tak, jak to pokazuje rysunek, otrzymamy trójkąty równoramienne. Stąd wniosek, że dwa kąty w trójkącie są równe \(\gamma\). Wiemy, że suma miar kątów w trójkącie jest równa 180°, zatem:
\(\gamma+\gamma+\beta=180^o\)
\(2\gamma+\beta=180^o\)
\(\alpha+\beta=180^o\)
\(\alpha=180^o-\beta\)
Kat \(\beta\) jest to kąt pełny podzielony na tyle części, z ilu boków składa się wielokąt foremny:
\(\beta=\frac{360^o}{n}\)
\(\alpha=180^o-\frac{360^o}{n}\)
W naszym przypadku mamy:
\(\alpha=162^o \)
\(\alpha=162^o=180^o-\frac{360^o}{n}\)
\(\frac{360^o}{n}=180^o-162^o \)
\(\frac{360^o}{n}=18^o/\cdot n\)
\(18^o \cdot n=360^o/:18^o\)
\(n=20\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-01-13, ZAD-1097
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) n-kąta foremnego.
Zadanie nr 3 — maturalne.
Punkty \(A, B, C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku S. Miary kątów \(SBC, BCD, CDA\) są równe odpowiednio: \(|\angle SBC|=60°, |\angle BCD|=110°, |\angle CDA|=90°\) (zobacz rysunek).
Wynika stąd, że miara \(\alpha\); kąta \(DAS\) jest równa
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
Zadanie nr 4 — maturalne.
Czworokąt \(ABCD\), w którym \(|BC|=4\) i \(|CD=5|\), jest opisany na okręgu. Przekątna \(AC\) tego czworokąta tworzy z bokiem \(BC\) kąt o mierze 60°, natomiast z bokiem \(AB\) – kąt ostry, którego sinus jest równy \(\frac{1}{4}\) . Oblicz obwód czworokąta \(ABCD\). Zapisz obliczenia.