Zadanie - równanie okręgu
Treść zadania:
Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,2\sqrt{3}+1)\).
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy szkic:
Równanie okręgu o środku \(O=(x_s, y_s)\) i promieniu r jest dane wzorem:
Musimy więc znaleźć współrzędne środka okręgu oraz jego promień. Ponieważ mamy do czynienia z okręgiem opisanym na trójkącie równobocznym, środek okręgu dzieli wysokość trójkąta na trzy równe części, więc:
\(r=\frac{2}{3}h\)
Wysokość trójkąta można wyznaczyć, znając długość boku. Długość boku można obliczyć na podstawie wzoru na odległość między dwoma punktami w układzie współrzędnych:
Mamy więc dla punktów \(A\) i \(B\):
\(A=(1,1), \ B=(5,1)\)
\(|AB|=a=\sqrt{(5-1)^2+(1-1)^2}=4\0
Obliczamy wysokość trójkąta, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
\(h^2+(\frac{1}{2}a)^2=a^2\)
\(h^2=\frac{3}{4}a^2\)
\(h=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)
\(a=4\)
\(h=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4=2\sqrt{3}\)
a następnie promień:
\(r=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
Aby wyznaczyć współrzędne środka okręgu posłużymy się wiedzą na temat środka okręgu opisanego na trójkącie, który leży na przecięciu się symetralnych boków trójkąta. Zatem współrzędna x środka okręgu jest taka sama jak współrzędna x środka odcinka AB. Środek odcinka wyznaczonego przez punkty w układzie współrzędnych obliczamy ze wzoru:
Mamy więc:
\(x_s=x_O=\frac{1+5}{2}=3\)
Środek okręgu leży o 1/3 wysokości nad podstawą trójkąta AB, która leży na prostej \(y=1\). Współrzędna \(y\) środka okręgu spełnia więc zależność:
\(y_s=1+\frac{1}{3}h=1+\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{3}=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
Mamy już wszystkie dane, aby napisać równanie okręgu:
\((x-x_s)^2+(y-y_s)^2=r^2\)
\((x-3)^2+(y-1-\frac{2\sqrt{3}}{3})^2=(\frac{4\sqrt{3}}{3})^2=\frac{16\cdot 3}{9}=\frac{16}{3}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2011-01-18, ZAD-1112
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.
Zadanie nr 5.
Dany jest punkt \(A=(-1,1)\). Znaleźć punkt \(B\), jeżeli wiadomo, że \(|\vec{AB}|=4\).
Zadanie nr 6 — maturalne.
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x^2+y^2=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y\leq 2\).
Zadanie nr 7 — maturalne.
Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \((x+2)^2+(y-3)^2=4\) z osiami układu współrzędnych jest równa:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Zadanie nr 8 — maturalne.
Dany jest okrąg o środku \(S=(2,3)\) i promieniu \(r=5\). Który z podanych punktów leży na tym okręgu?
A. \(A=(-1, 7)\)
B. \(B=(2, 3)\)
C. \(C=(3, 2)\)
D. \(D=(5, 3)\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(A=(−5, 3)\) i \(B=(0, 6)\), którego środek leży na prostej o równaniu \(x−3y+1=0\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Średnicą okręgu jest odcinek \(KL\), gdzie \(K=(6,8)\), \(L=(−6, − 8)\). Równanie tego okręgu ma postać
A. \(x^2+y^2=200\)
B. \(x^2+y^2=100\)
C. \(x^2+y^2=400\)
D. \(x^2+y^2=300\)
Zadanie nr 11 — maturalne.
Dane są okręgi o równaniach \(x^2+y^2−12x−8y+43=0\) i \(x^2+y^2−2ax+4y+a^2−77=0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.