Zadanie - elipsa, ognisko elipsy
Treść zadania:
Zaznaczyć w układzie współrzędnych ogniska elipsy o równaniu \(\frac{x^2}{4}+y^2=1\).
Rozwiązanie zadania
Równanie elipsy jest następujące:
gdzie a jest półosią wielką elipsy, b - półosią małą elipsy.
Przekształcamy więc nasze równanie do powyższej postaci:
\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)
\(\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1\)
\(a=2, \ b=1\)
Długość półosi wielkiej jest więc równa 2, półosi małej 1. Ogniska \(F_1, F_2\)można wyznaczyć, gdy znamy półogniskową c, która dana jest wzorem:
Mamy więc:
\(c^2=2^2-1^2=4-1=3\)
\(c=\sqrt{3} \ \vee \ c=-\sqrt{3}\)
Pomijamy wartość ujemną \(-\sqrt{3}\) ponieważ c jest odległością, więc jest liczbą dodatnią. Mając dane c wyznaczamy ogniska elipsy zgodnie ze wzorami:
Mamy więc:
\(F_1=(\sqrt{3},0)\)
\(F_2=(-\sqrt{3},0)\)
\(\sqrt{3}\approx 1,732\)
Aby sporządzić szkic elipsy, zaznaczamy w układzie współrzędnych półosie elipsy i rysujemy elipsę. Następnie zaznaczamy ogniska:
© medianauka.pl, 2011-01-19, ZAD-1114
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Jaka jest długość półosi wielkiej elipsy o równaniu \(x^2+16y^2=144\)? Sporządź szkic tej elipsy w układzie współrzędnych.
Zadanie nr 2.
Dana jest elipsa o równaniu \(x^2+4y^2=4\). Obliczyć mimośród tej elipsy.
Zadanie nr 3.
Dana jest elipsa o mimośrodzie \(\varepsilon=\frac{1}{2}\) i ognisku w punkcie \(F=(\frac{3}{2},0)\). Znaleźć równanie tej elipsy.
